Resolva os seguintes itens:
a) Encontre inteiros tais que .

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para encontrar números inteiros que satisfazem a equação . Isso envolve conhecimentos de álgebra, especificamente sobre combinações lineares de números inteiros. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de máximo divisor comum (MDC) e como usar a combinação linear para encontrar soluções inteiras.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é possível encontrar tais inteiros . Para isso, precisamos garantir que o MDC dos coeficientes (6, 15 e 10) divida o número no lado direito da equação, que é 1.

Passo 3

Calculando o MDC de 6, 15 e 10:
  • O MDC de 6 e 15 é 3.
  • Agora, o MDC de 3 e 10 é 1.
    Como o MDC é 1, isso significa que existe uma combinação linear desses números que resulta em 1. Portanto, soluções inteiras para existem.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução específica. Podemos tentar escolher valores para dois das variáveis e resolver para a terceira. Vamos fixar e para simplificar:



Isso não é inteiro, então tentamos outro valor. Vamos fixar e :



Ainda não é inteiro. Vamos tentar , :





Eureka! Encontramos uma solução inteira: , , .

Resposta

Uma solução inteira é , , e , pois .

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Mostre que, se a é um inteiro ímpar, então para todo .
Prove que nenhum número inteiro na seguinte sequência é um quadrado perfeito:
Prove que não é um número inteiro para .
Encontre , e .