Resolva os seguintes itens:
a) Encontre inteiros
tais que
.
a) Encontre inteiros
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para encontrar números inteiros
que satisfazem a equação
. Isso envolve conhecimentos de álgebra, especificamente sobre combinações lineares de números inteiros. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de máximo divisor comum (MDC) e como usar a combinação linear para encontrar soluções inteiras.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é possível encontrar tais inteiros
. Para isso, precisamos garantir que o MDC dos coeficientes (6, 15 e 10) divida o número no lado direito da equação, que é 1.
Passo 3
Calculando o MDC de 6, 15 e 10:
- O MDC de 6 e 15 é 3.
- Agora, o MDC de 3 e 10 é 1.
Como o MDC é 1, isso significa que existe uma combinação linear desses números que resulta em 1. Portanto, soluções inteiras paraexistem.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução específica. Podemos tentar escolher valores para dois das variáveis e resolver para a terceira. Vamos fixar
e
para simplificar:
Isso não é inteiro, então tentamos outro valor. Vamos fixar e
:
Ainda não é inteiro. Vamos tentar ,
:
Eureka! Encontramos uma solução inteira: ,
,
.
Isso não é inteiro, então tentamos outro valor. Vamos fixar
Ainda não é inteiro. Vamos tentar
Eureka! Encontramos uma solução inteira:
Resposta
Uma solução inteira é
,
, e
, pois
.
Exercícios relacionados
Mostre que, se a é um inteiro ímpar, então para todo
.
Prove que nenhum número inteiro na seguinte sequência é um quadrado perfeito:
Prove que
não é um número inteiro para
.
Encontre
, e
.