Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
b) O cubo de qualquer inteiro tem uma das formas: 9 k, 9 k+1 ou 9 k+8.

Passo 1

Vamos resolver um problema de álgebra usando o Algoritmo da Divisão. A questão nos pede para provar que o cubo de qualquer número inteiro pode ser escrito de uma das seguintes formas: , ou , onde é um número inteiro. Para isso, vamos precisar dividir o número inteiro por 9 e analisar os possíveis restos dessa divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Algoritmo da Divisão. Esse algoritmo diz que qualquer número inteiro n = 9k + r pode ser escrito como:
onde:
  • é o quociente da divisão de por 9,
  • é o resto dessa divisão e pode ser 0, 1, 2, …, até 8.

Passo 3

Agora, vamos elevar n^3 = (9k + r)^3 ao cubo:
(9k + r)^3 = 729k^3 + 243k^2r + 27kr^2 + r^3
Usando a expansão do binômio, temos:

Passo 4

Vamos analisar cada termo da expressão:
  • é múltiplo de 9 ( )
  • também é múltiplo de 9 ( )
  • é múltiplo de 9 ( )
  • depende do valor de
Portanto, os três primeiros termos são múltiplos de 9 e podem ser representados como , onde é algum inteiro.

Passo 5

Focamos agora no termo . Como pode ser de 0 a 8, vamos calcular para cada valor de e ver o resto quando dividido por 9:
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :

Passo 6

Observamos que o resto n^3 = 9m + 0, 1, 8 sempre resulta em 0, 1 ou 8, independente do valor de . Assim, podemos escrever:
Isso significa que tem a forma , ou , onde é um inteiro.

Resposta

O cubo de qualquer inteiro pode ser expresso nas formas , ou .

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