Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
b) O cubo de qualquer inteiro tem uma das formas:
ou
.
b) O cubo de qualquer inteiro tem uma das formas:
Passo 1
Vamos resolver um problema de álgebra usando o Algoritmo da Divisão. A questão nos pede para provar que o cubo de qualquer número inteiro pode ser escrito de uma das seguintes formas:
,
ou
, onde
é um número inteiro. Para isso, vamos precisar dividir o número inteiro por 9 e analisar os possíveis restos dessa divisão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Algoritmo da Divisão. Esse algoritmo diz que qualquer número inteiro
pode ser escrito como:
onde:
-
é o quociente da divisão de por 9, -
é o resto dessa divisão e pode ser 0, 1, 2, …, até 8.
Passo 3
Agora, vamos elevar
ao cubo:
Usando a expansão do binômio, temos:
Passo 4
Vamos analisar cada termo da expressão:
-
é múltiplo de 9 ( ) -
também é múltiplo de 9 ( ) -
é múltiplo de 9 ( ) -
depende do valor de
Portanto, os três primeiros termos são múltiplos de 9 e podem ser representados como
, onde
é algum inteiro.
Passo 5
Focamos agora no termo
. Como
pode ser de 0 a 8, vamos calcular
para cada valor de
e ver o resto quando dividido por 9:
- Se
: - Se
: - Se
: - Se
: - Se
: - Se
: - Se
: - Se
: - Se
:
Passo 6
Observamos que o resto
sempre resulta em 0, 1 ou 8, independente do valor de
. Assim, podemos escrever:
Isso significa que
tem a forma
,
ou
, onde
é um inteiro.
Resposta
O cubo de qualquer inteiro pode ser expresso nas formas
,
ou
.
Exercícios relacionados
Prove que se
e
são inteiros, com
, então existem inteiros únicos
e
que satisfazem
, onde
.
Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
b) O inteiro n é um número triangular se e somente se for um quadrado perfeito. (Plutarco, cerca de 100 d.C.)
b) O inteiro n é um número triangular se e somente se
Prove que nenhum número inteiro na seguinte sequência é um quadrado perfeito:
Mostre que, se a é um inteiro ímpar, então para todo
.