Prove que
não é um número inteiro para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a soma
nunca é um número inteiro quando
. Esse tipo de soma é conhecido como série harmônica. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre frações e divisores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a série harmônica de uma forma mais clara:
Queremos mostrar que
não é um número inteiro para qualquer
maior que 1.
Passo 3
Vamos pensar nos denominadores das frações. Cada termo
tem um denominador
. Para somar todas essas frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum mais fácil de usar é o mínimo múltiplo de todos os números de 1 a
, que chamaremos de
.
Passo 4
Multiplicando cada termo por
, temos:
Isso resulta em:
Como
é múltiplo de cada denominador
, cada termo
será um número inteiro.
Passo 5
Portanto,
é a soma de números inteiros, o que significa que ele também é um número inteiro. Vamos chamar esse inteiro de
:
Então, temos:
Passo 6
Se
fosse um número inteiro, isso significaria que
divide
exatamente, sem deixar resto. Mas, observando que
é o mínimo múltiplo de 1 a
, existe pelo menos um número primo maior que 2 que está em
e não cancela com
, garantindo que a fração
não seja inteira.
Passo 7
Além disso, o único caso onde a série harmônica
seria inteira é quando
, onde
. Para qualquer
, a presença de frações como
,
, etc., impede que a soma resulte em um número inteiro.
Resposta
Portanto, provamos que
não é um número inteiro para todo
.
Exercícios relacionados
Resolva os seguintes itens:
a) Encontre inteiros tais que
.
a) Encontre inteiros
Mostre que, se a é um inteiro ímpar, então para todo
.
Encontre
, e
.
Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
a) Um número é triangular se e somente se ele for da forma para algum
. (Pitágoras, cerca de 550 a.C.)
a) Um número é triangular se e somente se ele for da forma