Prove que 1+12+cdots+1n não é um número inteiro para n>1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a soma nunca é um número inteiro quando . Esse tipo de soma é conhecido como série harmônica. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre frações e divisores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a série harmônica de uma forma mais clara:
Hn = 1 + 12 + 13 + cdots + 1n
Queremos mostrar que não é um número inteiro para qualquer maior que 1.

Passo 3

Vamos pensar nos denominadores das frações. Cada termo tem um denominador . Para somar todas essas frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum mais fácil de usar é o mínimo múltiplo de todos os números de 1 a , que chamaremos de .

Passo 4

Multiplicando cada termo por D cdot Hn = D cdot 1 + D cdot 12 + D cdot 13 + cdots + D cdot 1n , temos:
D cdot Hn = D + D2 + D3 + cdots + Dn
Isso resulta em:
Como é múltiplo de cada denominador , cada termo será um número inteiro.

Passo 5

Portanto, D cdot Hn = M é a soma de números inteiros, o que significa que ele também é um número inteiro. Vamos chamar esse inteiro de Hn = MD :
Então, temos:

Passo 6

Se fosse um número inteiro, isso significaria que divide exatamente, sem deixar resto. Mas, observando que é o mínimo múltiplo de 1 a , existe pelo menos um número primo maior que 2 que está em e não cancela com , garantindo que a fração não seja inteira.

Passo 7

Além disso, o único caso onde a série harmônica seria inteira é quando , onde . Para qualquer , a presença de frações como , , etc., impede que a soma resulte em um número inteiro.

Resposta

Portanto, provamos que não é um número inteiro para todo .

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