Prove que nenhum número inteiro na seguinte sequência é um quadrado perfeito:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que nenhum número inteiro na sequência 11, 111, 1111, 11111, e por aí vai, é um quadrado perfeito. Ou seja, nenhum desses números pode ser escrito como algum número inteiro ao quadrado. Para resolver isso, vamos usar um pouco de aritmética modular e análise de restos. Esses conceitos nos ajudam a entender como os números se comportam quando divididos por outros números, o que é super útil pra identificar padrões e impossibilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um quadrado perfeito. Um número é um quadrado perfeito se ele pode ser escrito como , onde é um número inteiro. Por exemplo, é um quadrado perfeito.

Passo 3

Agora, vamos observar os números da nossa sequência: 11, 111, 1111, 11111, etc. Todos esses números são compostos apenas pelo dígito 1 repetido várias vezes.

Passo 4

Vamos analisar esses números usando aritmética modular, que basicamente estuda os restos das divisões dos números. Especificamente, vamos olhar para os restos desses números quando divididos por 3.

Passo 5

Primeiro, calcular o resto de cada número da sequência ao dividir por 3:
  • com resto 2.
  • com resto 0.
  • com resto 1.
  • com resto 2.
  • E assim por diante.
Observamos que os restos seguem o padrão 2, 0, 1, 2, 0, 1, …

Passo 6

Agora, sabemos que os quadrados perfeitos têm restos específicos quando divididos por 3. Vamos ver quais são esses restos:
  • tem resto 0.
  • tem resto 1.
  • tem resto 1.
Então, os quadrados perfeitos podem ter restos 0 ou 1 quando divididos por 3.

Passo 7

Voltando à nossa sequência, vemos que os números têm restos 0, 1 ou 2 quando divididos por 3. Porém, o resto 2 nunca aparece nos quadrados perfeitos. Isso significa que qualquer número da nossa sequência que deixa resto 2 ao ser dividido por 3 não pode ser um quadrado perfeito.

Passo 8

Analisando os restos da nossa sequência:
  • 11 deixa resto 2 → não é quadrado perfeito.
  • 1111 deixa resto 1 → pode ser?
  • 11111 deixa resto 2 → não é quadrado perfeito.
  • E assim por diante.
Percebemos que, mesmo quando o resto é 1, precisamos verificar mais detalhes para confirmar.

Passo 9

Vamos além da divisão por 3 e verificar outros módulos, como 4. Isso nos dá mais informações sobre como esses números se comportam.
Os quadrados perfeitos têm restos 0 ou 1 quando divididos por 4.
Analisando nossa sequência:
  • 1111 dividido por 4:
    com resto 3.
Como o resto é 3, que não é 0 nem 1, concluímos que 1111 também não é um quadrado perfeito.

Resposta

Assim, através da análise dos restos das divisões por 3 e 4, mostramos que nenhum número na sequência 11, 111, 1111, 11111, etc., é um quadrado perfeito.

Exercícios relacionados

Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
b) O cubo de qualquer inteiro tem uma das formas: ou .
Prove que se e são inteiros, com , então existem inteiros únicos e que satisfazem , onde .
Mostre que, se a é um inteiro ímpar, então para todo .
Resolva os seguintes itens:
a) Encontre inteiros tais que .