Prove que nenhum número inteiro na seguinte sequência é um quadrado perfeito:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que nenhum número inteiro na sequência 11, 111, 1111, 11111, e por aí vai, é um quadrado perfeito. Ou seja, nenhum desses números pode ser escrito como algum número inteiro ao quadrado. Para resolver isso, vamos usar um pouco de aritmética modular e análise de restos. Esses conceitos nos ajudam a entender como os números se comportam quando divididos por outros números, o que é super útil pra identificar padrões e impossibilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um quadrado perfeito. Um número é um quadrado perfeito se ele pode ser escrito como
, onde
é um número inteiro. Por exemplo,
é um quadrado perfeito.
Passo 3
Agora, vamos observar os números da nossa sequência: 11, 111, 1111, 11111, etc. Todos esses números são compostos apenas pelo dígito 1 repetido várias vezes.
Passo 4
Vamos analisar esses números usando aritmética modular, que basicamente estuda os restos das divisões dos números. Especificamente, vamos olhar para os restos desses números quando divididos por 3.
Passo 5
Primeiro, calcular o resto de cada número da sequência ao dividir por 3:
-
com resto 2. -
com resto 0. -
com resto 1. -
com resto 2. - E assim por diante.
Observamos que os restos seguem o padrão 2, 0, 1, 2, 0, 1, …
Passo 6
Agora, sabemos que os quadrados perfeitos têm restos específicos quando divididos por 3. Vamos ver quais são esses restos:
-
tem resto 0. -
tem resto 1. -
tem resto 1.
Então, os quadrados perfeitos podem ter restos 0 ou 1 quando divididos por 3.
Passo 7
Voltando à nossa sequência, vemos que os números têm restos 0, 1 ou 2 quando divididos por 3. Porém, o resto 2 nunca aparece nos quadrados perfeitos. Isso significa que qualquer número da nossa sequência que deixa resto 2 ao ser dividido por 3 não pode ser um quadrado perfeito.
Passo 8
Analisando os restos da nossa sequência:
- 11 deixa resto 2 → não é quadrado perfeito.
- 1111 deixa resto 1 → pode ser?
- 11111 deixa resto 2 → não é quadrado perfeito.
- E assim por diante.
Percebemos que, mesmo quando o resto é 1, precisamos verificar mais detalhes para confirmar.
Passo 9
Vamos além da divisão por 3 e verificar outros módulos, como 4. Isso nos dá mais informações sobre como esses números se comportam.
Os quadrados perfeitos têm restos 0 ou 1 quando divididos por 4.
Analisando nossa sequência:
- 1111 dividido por 4:
com resto 3.
Como o resto é 3, que não é 0 nem 1, concluímos que 1111 também não é um quadrado perfeito.
Resposta
Assim, através da análise dos restos das divisões por 3 e 4, mostramos que nenhum número na sequência 11, 111, 1111, 11111, etc., é um quadrado perfeito.
Exercícios relacionados
Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
b) O cubo de qualquer inteiro tem uma das formas: ou
.
b) O cubo de qualquer inteiro tem uma das formas:
Prove que se
e
são inteiros, com
, então existem inteiros únicos
e
que satisfazem
, onde
.
Mostre que, se a é um inteiro ímpar, então para todo
.
Resolva os seguintes itens:
a) Encontre inteiros tais que
.
a) Encontre inteiros