Seja , para qual zero de o método da Bissecção converge quando aplicado aos intervalos a seguir? Encontre as raizes com precisão de 3 algarismos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar qual zero da função o Método da Bissecção vai convergir quando aplicado no intervalo . A gente precisa encontrar a raiz com precisão de 3 algarismos. Vamos usar o Método da Bissecção, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método da Bissecção. Ele funciona dividindo um intervalo em duas partes e verificando em qual subintervalo a função muda de sinal, ou seja, passa de positivo para negativo ou vice-versa. Essa mudança de sinal indica que há uma raiz nesse intervalo, graças ao Teorema de Bolzano. Repetimos esse processo até achar a raiz com a precisão desejada.

Passo 3

Vamos começar avaliando a função nos extremos do intervalo :
  • Para :
    Calculando isso dá um valor positivo.
  • Para :
    Isso também dá um valor positivo.
Como ambos os extremos dão valores positivos, não há mudança de sinal no intervalo inteiro, o que significa que não temos uma raiz garantida nesse intervalo pelo Método da Bissecção. Mas vamos verificar se há alguma raiz específica nesse intervalo.

Passo 4

Vamos identificar as raízes da função :
As raízes são os valores de que anulam a função:
  • (com multiplicidade 2)
  • (com multiplicidade 3)
Agora, vamos ver quais dessas raízes estão dentro do intervalo :
  • não está
  • não está
  • está
  • está
  • está
Então, temos três raízes no intervalo: , e .

Passo 5

Agora, precisamos verificar em qual dessas raízes o Método da Bissecção irá convergir. Para isso, escolhemos um subintervalo dentro de onde a função muda de sinal ao redor da raiz desejada.
Vamos analisar o comportamento da função próximo a cada uma dessas raízes:
  • Próximo de :
    • Para ligeiramente menor que 0, é negativo.
    • Para ligeiramente maior que 0, é positivo.
  • Próximo de :
    • Para ligeiramente menor que 1, é negativo.
    • Para ligeiramente maior que 1, é positivo.
  • Próximo de :
    • Para ligeiramente menor que 2, é negativo.
    • Para ligeiramente maior que 2, é positivo.
Isso indica que em torno de cada uma dessas raízes, a função muda de sinal, então o Método da Bissecção pode ser aplicado em subintervalos contendo cada uma delas.

Passo 6

Para encontrar a raiz com precisão de 3 algarismos, vamos aplicar o Método da Bissecção no subintervalo que contém a raiz mais próxima de . Vamos escolher o subintervalo , já que queremos uma das raízes dentro desse intervalo e vamos iterar até atingir a precisão desejada.
Após aplicar o Método da Bissecção várias vezes no subintervalo , comparamos os valores médios até que a diferença entre eles seja menor que . Isso nos dará a raiz com três casas decimais de precisão.

Resposta

A raiz para a qual o Método da Bissecção converge no intervalo é aproximadamente .

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e
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