Seja
, para qual zero de
o método da Bissecção converge quando aplicado aos intervalos a seguir? Encontre as raizes com precisão de 3 algarismos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar qual zero da função
o Método da Bissecção vai convergir quando aplicado no intervalo
. A gente precisa encontrar a raiz com precisão de 3 algarismos. Vamos usar o Método da Bissecção, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Método da Bissecção. Ele funciona dividindo um intervalo em duas partes e verificando em qual subintervalo a função muda de sinal, ou seja, passa de positivo para negativo ou vice-versa. Essa mudança de sinal indica que há uma raiz nesse intervalo, graças ao Teorema de Bolzano. Repetimos esse processo até achar a raiz com a precisão desejada.
Passo 3
Vamos começar avaliando a função
nos extremos do intervalo
:
-
Para
: Calculando isso dá um valor positivo. -
Para
: Isso também dá um valor positivo.
Como ambos os extremos dão valores positivos, não há mudança de sinal no intervalo inteiro, o que significa que não temos uma raiz garantida nesse intervalo pelo Método da Bissecção. Mas vamos verificar se há alguma raiz específica nesse intervalo.
Passo 4
Vamos identificar as raízes da função
:
As raízes são os valores de
que anulam a função:
-
-
(com multiplicidade 2) -
-
(com multiplicidade 3) -
Agora, vamos ver quais dessas raízes estão dentro do intervalo
:
-
não está -
não está -
está -
está -
está
Então, temos três raízes no intervalo:
,
e
.
Passo 5
Agora, precisamos verificar em qual dessas raízes o Método da Bissecção irá convergir. Para isso, escolhemos um subintervalo dentro de
onde a função muda de sinal ao redor da raiz desejada.
Vamos analisar o comportamento da função próximo a cada uma dessas raízes:
-
Próximo de
: - Para
ligeiramente menor que 0, é negativo. - Para
ligeiramente maior que 0, é positivo.
- Para
-
Próximo de
: - Para
ligeiramente menor que 1, é negativo. - Para
ligeiramente maior que 1, é positivo.
- Para
-
Próximo de
: - Para
ligeiramente menor que 2, é negativo. - Para
ligeiramente maior que 2, é positivo.
- Para
Isso indica que em torno de cada uma dessas raízes, a função muda de sinal, então o Método da Bissecção pode ser aplicado em subintervalos contendo cada uma delas.
Passo 6
Para encontrar a raiz com precisão de 3 algarismos, vamos aplicar o Método da Bissecção no subintervalo que contém a raiz mais próxima de
. Vamos escolher o subintervalo
, já que queremos uma das raízes dentro desse intervalo e vamos iterar até atingir a precisão desejada.
Após aplicar o Método da Bissecção várias vezes no subintervalo
, comparamos os valores médios até que a diferença entre eles seja menor que
. Isso nos dará a raiz com três casas decimais de precisão.
Resposta
A raiz para a qual o Método da Bissecção converge no intervalo
é aproximadamente
.
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, para qual zero de
o método da Bissecção converge quando aplicado aos intervalos a seguir? Encontre as raizes com precisão de 3 algarismos.
Mostre que as seguintes equações têm pelo menos uma solução nos intervalos dados.
e
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, para qual zero de
o método da Bissecção converge quando aplicado aos intervalos a seguir? Encontre as raizes com precisão de 3 algarismos.