Mostre que em todo espaço vetorial normado, as bolas abertas contém mais de um elemento diferente de seu centro.

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa mostrar aqui é que, em qualquer espaço vetorial normado, as bolas abertas sempre têm mais de um ponto diferente do centro. Vamos usar conceitos de espaços vetoriais, normas e bolas abertas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial normado. É basicamente um espaço vetorial onde cada vetor tem um “tamanho” definido por uma norma, que é uma função que associa a cada vetor um número real não negativo.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é uma bola aberta. Em um espaço vetorial normado, uma bola aberta centrada em um ponto com raio é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Aqui, representa a norma.

Passo 4

Para mostrar que essa bola aberta contém mais de um elemento diferente do centro, vamos considerar que o espaço vetorial tem ao menos duas direções distintas, já que é vetorial.

Passo 5

Vamos escolher um vetor diferente do vetor zero, digamos , e observar que . Agora, consideramos o vetor . Queremos ver se ele está dentro da bola aberta.

Passo 6

Calculamos a norma de . Se escolhermos , então está dentro da bola aberta, pois satisfaz a condição .

Passo 7

Além disso, podemos escolher outro vetor, por exemplo, , e se , também estará dentro da bola aberta. Isso mostra que existem pelo menos dois elementos diferentes de na bola aberta.

Passo 8

Como podemos escolher diferentes vetores com , isso implica que há infinitos pontos distintos dentro da bola aberta, todos diferentes do centro .

Resposta

Portanto, em todo espaço vetorial normado, as bolas abertas contêm mais de um elemento diferente de seu centro.

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(norma euclidiana).
Seja o espaço vetorial . Prove que são métricas, para cada e em , as seguintes funções
(métrica da soma).
Seja o espaço vetorial . Prove que são métricas, para cada e em , as seguintes funções
(métrica euclidiana).
Seja o espaço vetorial . Prove que são normas, para cada em , as seguintes funções
. (norma do máximo).