Mostre que em todo espaço vetorial normado, as bolas abertas contém mais de um elemento
diferente de seu centro.
Passo 1
Beleza, então o que a gente precisa mostrar aqui é que, em qualquer espaço vetorial normado, as bolas abertas sempre têm mais de um ponto diferente do centro. Vamos usar conceitos de espaços vetoriais, normas e bolas abertas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial normado. É basicamente um espaço vetorial onde cada vetor tem um “tamanho” definido por uma norma, que é uma função que associa a cada vetor um número real não negativo.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é uma bola aberta. Em um espaço vetorial normado, uma bola aberta centrada em um ponto
com raio
é o conjunto de todos os vetores
que satisfazem
. Aqui,
representa a norma.
Passo 4
Para mostrar que essa bola aberta contém mais de um elemento diferente do centro, vamos considerar que o espaço vetorial tem ao menos duas direções distintas, já que é vetorial.
Passo 5
Vamos escolher um vetor diferente do vetor zero, digamos
, e observar que
. Agora, consideramos o vetor
. Queremos ver se ele está dentro da bola aberta.
Passo 6
Calculamos a norma de
. Se escolhermos
, então
está dentro da bola aberta, pois
satisfaz a condição
.
Passo 7
Além disso, podemos escolher outro vetor, por exemplo,
, e se
, também estará dentro da bola aberta. Isso mostra que existem pelo menos dois elementos diferentes de
na bola aberta.
Passo 8
Como podemos escolher diferentes vetores
com
, isso implica que há infinitos pontos distintos dentro da bola aberta, todos diferentes do centro
.
Resposta
Portanto, em todo espaço vetorial normado, as bolas abertas contêm mais de um elemento
diferente de seu centro.
Exercícios relacionados
Seja o espaço vetorial
. Prove que são normas, para cada
em
, as seguintes funções
(norma euclidiana).
Seja o espaço vetorial
. Prove que são métricas, para cada
e
em
, as seguintes funções
(métrica da soma).
Seja o espaço vetorial
. Prove que são métricas, para cada
e
em
, as seguintes funções
(métrica euclidiana).
Seja o espaço vetorial
. Prove que são normas, para cada
em
, as seguintes funções
. (norma do máximo).