Seja o espaço vetorial
. Prove que são métricas, para cada
e
em
, as seguintes funções
(métrica da soma).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é pra gente provar que a função
é uma métrica no espaço vetorial
. Uma métrica é basicamente uma maneira de medir a “distância” entre dois pontos nesse espaço, e pra isso ela precisa seguir algumas regrinhas básicas. Vamos precisar verificar essas regrinhas pra mostrar que
realmente funciona como uma métrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma métrica. Uma métrica em um espaço vetorial precisa satisfazer quatro propriedades:
- Não negatividade: A distância entre dois pontos nunca é negativa.
- Identidade da indiscernibilidade: A distância entre dois pontos é zero se e somente se os pontos forem iguais.
- Simetria: A distância de A para B é a mesma que de B para A.
- Desigualdade triangular: A distância de A para C deve ser menor ou igual à distância de A para B mais a distância de B para C.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função
.
Passo 3
1. Não negatividade
A função
soma o valor absoluto das diferenças das coordenadas de
e
. Sabemos que o valor absoluto de qualquer número é sempre zero ou positivo. Então, cada termo
é
. Somando vários números que são
, o resultado também será
. Portanto,
.
Passo 4
2. Identidade da indiscernibilidade
Queremos mostrar que
se e somente se
.
- Se
, então para cada coordenada , . Assim, para todos os , e somando todos esses zeros, temos . - Se
, isso significa que cada termo , já que são soma de termos não negativos. Portanto, para todo , ou seja, .
Então,
se e somente se
.
Passo 5
3. Simetria
Precisamos mostrar que
.
Note que
para qualquer
, já que o valor absoluto não se importa com a ordem dos termos. Assim, ao somar todas as diferenças, tanto em
quanto em
, teremos a mesma soma. Logo,
.
Passo 6
4. Desigualdade triangular
Queremos provar que
.
Vamos olhar cada coordenada individualmente. Para qualquer
, temos:
Isso é uma propriedade conhecida dos valores absolutos, chamada de desigualdade triangular para números reais.
Agora, somando essa desigualdade para todas as coordenadas de 1 a
:
Ou seja:
Isso mostra que a desigualdade triangular é satisfeita para
.
Resposta
Assim, verificamos que a função
satisfaz todas as propriedades de uma métrica no espaço
. Portanto,
é de fato uma métrica.
Exercícios relacionados
Seja o espaço vetorial
. Prove que são normas, para cada
em
, as seguintes funções
(norma da soma).
Prove que as métricas, em
, mensionadas acima são equivalentes, isto é,
Seja o espaço vetorial
. Prove que são normas, para cada
em
, as seguintes funções
(norma euclidiana).
Mostre que em todo espaço vetorial normado, as bolas abertas contém mais de um elemento
diferente de seu centro.