Seja o espaço vetorial R^n. Prove que são métricas, para cada x=(x1, y2, ldots, xn) e y=(y1, y2, ldots, yn) em R^n, as seguintes funções
d^prime(x, y)=|x1-y1|+|x2-y2|+ldots+|xn-yn| (métrica da soma).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é pra gente provar que a função é uma métrica no espaço vetorial . Uma métrica é basicamente uma maneira de medir a “distância” entre dois pontos nesse espaço, e pra isso ela precisa seguir algumas regrinhas básicas. Vamos precisar verificar essas regrinhas pra mostrar que realmente funciona como uma métrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma métrica. Uma métrica em um espaço vetorial precisa satisfazer quatro propriedades:
  1. Não negatividade: A distância entre dois pontos nunca é negativa.
  2. Identidade da indiscernibilidade: A distância entre dois pontos é zero se e somente se os pontos forem iguais.
  3. Simetria: A distância de A para B é a mesma que de B para A.
  4. Desigualdade triangular: A distância de A para C deve ser menor ou igual à distância de A para B mais a distância de B para C.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função .

Passo 3

1. Não negatividade
A função soma o valor absoluto das diferenças das coordenadas de e . Sabemos que o valor absoluto de qualquer número é sempre zero ou positivo. Então, cada termo é . Somando vários números que são , o resultado também será . Portanto, .

Passo 4

2. Identidade da indiscernibilidade
Queremos mostrar que se e somente se .
  • Se , então para cada coordenada , . Assim, para todos os , e somando todos esses zeros, temos .
  • Se , isso significa que cada termo , já que são soma de termos não negativos. Portanto, para todo , ou seja, .
Então, se e somente se .

Passo 5

3. Simetria
Precisamos mostrar que .
Note que para qualquer , já que o valor absoluto não se importa com a ordem dos termos. Assim, ao somar todas as diferenças, tanto em quanto em , teremos a mesma soma. Logo, .

Passo 6

4. Desigualdade triangular
Queremos provar que |xi - zi| <= |xi - yi| + |yi - zi| .
Vamos olhar cada coordenada individualmente. Para qualquer sumi=1^n |xi - zi| <= sumi=1^n |xi - yi| + sumi=1^n |yi - zi| , temos:
d'(x, z) <= d'(x, y) + d'(y, z)
Isso é uma propriedade conhecida dos valores absolutos, chamada de desigualdade triangular para números reais.
Agora, somando essa desigualdade para todas as coordenadas de 1 a :
Ou seja:
Isso mostra que a desigualdade triangular é satisfeita para .

Resposta

Assim, verificamos que a função satisfaz todas as propriedades de uma métrica no espaço . Portanto, é de fato uma métrica.

Exercícios relacionados