Seja o espaço vetorial R^n. Prove que são normas, para cada x=(x1, y2, ldots, xn) em R^n, as seguintes funções
|x|=raizx1^2+x2^2+ldots+xn^2 (norma euclidiana).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função dada é uma norma no espaço vetorial R^n. Normas são maneiras de medir o “tamanho” ou “magnitude” de um vetor. Para provar que uma função é uma norma, precisamos verificar se ela satisfaz três propriedades básicas: definição positiva, escalabilidade absoluta e desigualdade triangular. Vamos usar a norma euclidiana que é essa função |x|=raizx1^2+x2^2+ldots+xn^2 para ver se ela cumpre tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir a definição positiva. Isso significa que para qualquer vetor x em R^n, a norma deve ser sempre não negativa ( |x| >= 0) e igual a zero somente quando o vetor for o vetor nulo (todos os componentes são zero).
No caso da norma euclidiana:
|x| = raizx1^2 + x2^2 + ldots + xn^2
Como cada xi^2 é sempre positivo ou zero, a soma deles também é positiva ou zero. A raiz quadrada de um número não negativo também é não negativa. Além disso, |x| = 0 se e somente se todos os xi = 0. Portanto, a norma euclidiana satisfaz a definição positiva.

Passo 3

Agora vamos para a escalabilidade absoluta. Isso quer dizer que, se a gente multiplicar o vetor x por um escalar alpha, a norma do vetor resultante deve ser igual ao valor absoluto de alpha vezes a norma original do vetor. Em fórmula:
|alpha x| = |alpha| cdot |x|
Vamos verificar isso com a norma euclidiana:
|alpha x| = raiz(alpha x1)^2 + (alpha x2)^2 + ldots + (alpha xn)^2 = raizalpha^2(x1^2 + x2^2 + ldots + xn^2) = |alpha| cdot raizx1^2 + x2^2 + ldots + xn^2 = |alpha| cdot |x|
Então, a norma euclidiana também cumpre a propriedade de escalabilidade absoluta.

Passo 4

Por último, vamos verificar a desigualdade triangular. Essa propriedade diz que a norma da soma de dois vetores deve ser menor ou igual à soma das normas desses vetores. Em outras palavras:
|x + y| <= |x| + |y|
Para a norma euclidiana, isso é garantido pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, que afirma que:
|x cdot y| <= |x| cdot |y|
Usando essa desigualdade, podemos mostrar que:
|x + y|^2 = (x + y) cdot (x + y) = |x|^2 + 2x cdot y + |y|^2 <= |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2 = (|x| + |y|)^2
Tomando a raiz dos dois lados:
|x + y| <= |x| + |y|
Portanto, a norma euclidiana satisfaz a desigualdade triangular.

Resposta

Concluímos que a função |x|=raizx1^2+x2^2+ldots+xn^2 satisfaz todas as propriedades necessárias para ser uma norma no espaço vetorial R^n. Assim, a norma euclidiana é de fato uma norma válida nesse espaço.

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