Seja o espaço vetorial
. Prove que são normas, para cada
em
, as seguintes funções
(norma euclidiana).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função dada é uma norma no espaço vetorial
. Normas são maneiras de medir o “tamanho” ou “magnitude” de um vetor. Para provar que uma função é uma norma, precisamos verificar se ela satisfaz três propriedades básicas: definição positiva, escalabilidade absoluta e desigualdade triangular. Vamos usar a norma euclidiana que é essa função
para ver se ela cumpre tudo isso.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir a definição positiva. Isso significa que para qualquer vetor
em
, a norma deve ser sempre não negativa (
) e igual a zero somente quando o vetor for o vetor nulo (todos os componentes são zero).
No caso da norma euclidiana:
Como cada
é sempre positivo ou zero, a soma deles também é positiva ou zero. A raiz quadrada de um número não negativo também é não negativa. Além disso,
se e somente se todos os
. Portanto, a norma euclidiana satisfaz a definição positiva.
Passo 3
Agora vamos para a escalabilidade absoluta. Isso quer dizer que, se a gente multiplicar o vetor
por um escalar
, a norma do vetor resultante deve ser igual ao valor absoluto de
vezes a norma original do vetor. Em fórmula:
Vamos verificar isso com a norma euclidiana:
Então, a norma euclidiana também cumpre a propriedade de escalabilidade absoluta.
Passo 4
Por último, vamos verificar a desigualdade triangular. Essa propriedade diz que a norma da soma de dois vetores deve ser menor ou igual à soma das normas desses vetores. Em outras palavras:
Para a norma euclidiana, isso é garantido pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, que afirma que:
Usando essa desigualdade, podemos mostrar que:
Tomando a raiz dos dois lados:
Portanto, a norma euclidiana satisfaz a desigualdade triangular.
Resposta
Concluímos que a função
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser uma norma no espaço vetorial
. Assim, a norma euclidiana é de fato uma norma válida nesse espaço.
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em
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