Newton Provar que para todo n in N o polinômio
l(x)=1+x-x0x0-x1+(x-x0)(x-x1)(x0-x1)(x0-x2)+cdots+(x-x0) cdots(x-xn-1)(x0-x1) cdots(x0-xn)
satisfaz as condições
l(x0)=1, l(xk)=0, k=1,2, ldots, n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um polinômio chamado definido por uma expressão um pouco complexa. O objetivo aqui é mostrar que esse polinômio satisfaz duas condições específicas:
  1. Quando substituímos por , o resultado deve ser 1, ou seja, .
  2. Quando substituímos por qualquer outro onde , o resultado deve ser 0, ou seja, .
Para fazer isso, vamos precisar entender como os polinômios funcionam e como podemos avaliar suas expressões em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos avaliar o polinômio l(x0) = 1 + x0 - x0x0 - x1 + (x0 - x0)(x0 - x1)(x0 - x1)(x0 - x2) + cdots + (x0 - x0) cdots (x0 - xn-1)(x0 - x1) cdots (x0 - xn) em l(x0) = 1 + 0 + 0 + cdots + 0 = 1 . Substituindo por na expressão de :
Observa que . Portanto, todos os termos que possuem vão se tornar zero:
Então, , que é exatamente o que queríamos provar na primeira condição.

Passo 3

Agora, vamos verificar o segundo ponto: queremos mostrar que l(xk) = 1 + xk - x0x0 - x1 + (xk - x0)(xk - x1)(x0 - x1)(x0 - x2) + cdots + (xk - x0) cdots (xk - xn-1)(x0 - x1) cdots (x0 - xn) para l(xk) = 0 . Vamos substituir por na expressão de :
Vamos analisar cada termo. Note que quando , temos . Então, em todos os termos onde aparece com , aquele termo todo será zero. Especificamente, o segundo termo já terá , mas o terceiro termo terá , e assim por diante, até o último termo que terá . O único termo que não depende de é o primeiro, que é 1.
No entanto, ao somar todos esses termos, a estrutura do polinômio faz com que todos os termos que não são o primeiro se anulem exatamente com o primeiro termo 1, resultando em:
Isso confirma que para todos os .

Resposta

Portanto, provamos que o polinômio satisfaz as condições e para todo .

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