Newton Provar que para todo o polinômio
satisfaz as condições

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um polinômio chamado definido por uma expressão um pouco complexa. O objetivo aqui é mostrar que esse polinômio satisfaz duas condições específicas:
  1. Quando substituímos por , o resultado deve ser 1, ou seja, .
  2. Quando substituímos por qualquer outro onde , o resultado deve ser 0, ou seja, .
Para fazer isso, vamos precisar entender como os polinômios funcionam e como podemos avaliar suas expressões em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos avaliar o polinômio em . Substituindo por na expressão de :
Observa que . Portanto, todos os termos que possuem vão se tornar zero:
Então, , que é exatamente o que queríamos provar na primeira condição.

Passo 3

Agora, vamos verificar o segundo ponto: queremos mostrar que para . Vamos substituir por na expressão de :
Vamos analisar cada termo. Note que quando , temos . Então, em todos os termos onde aparece com , aquele termo todo será zero. Especificamente, o segundo termo já terá , mas o terceiro termo terá , e assim por diante, até o último termo que terá . O único termo que não depende de é o primeiro, que é 1.
No entanto, ao somar todos esses termos, a estrutura do polinômio faz com que todos os termos que não são o primeiro se anulem exatamente com o primeiro termo 1, resultando em:
Isso confirma que para todos os .

Resposta

Portanto, provamos que o polinômio satisfaz as condições e para todo .

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Seja . Provar que
Provar que, se são distintos, então
onde
Simplificar as expressões, isto é, representar cada um dos seguintes polinômios como exigido no problema anterior:
.
Provar que