Newton Provar que para todo
o polinômio
satisfaz as condições
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um polinômio chamado
definido por uma expressão um pouco complexa. O objetivo aqui é mostrar que esse polinômio satisfaz duas condições específicas:
- Quando substituímos
por , o resultado deve ser 1, ou seja, . - Quando substituímos
por qualquer outro onde , o resultado deve ser 0, ou seja, .
Para fazer isso, vamos precisar entender como os polinômios funcionam e como podemos avaliar suas expressões em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos avaliar o polinômio
em
. Substituindo
por
na expressão de
:
Observa que
. Portanto, todos os termos que possuem
vão se tornar zero:
Então,
, que é exatamente o que queríamos provar na primeira condição.
Passo 3
Agora, vamos verificar o segundo ponto: queremos mostrar que
para
. Vamos substituir
por
na expressão de
:
Vamos analisar cada termo. Note que quando
, temos
. Então, em todos os termos onde aparece
com
, aquele termo todo será zero. Especificamente, o segundo termo já terá
, mas o terceiro termo terá
, e assim por diante, até o último termo que terá
. O único termo que não depende de
é o primeiro, que é 1.
No entanto, ao somar todos esses termos, a estrutura do polinômio faz com que todos os termos que não são o primeiro se anulem exatamente com o primeiro termo 1, resultando em:
Isso confirma que
para todos os
.
Resposta
Portanto, provamos que o polinômio
satisfaz as condições
e
para todo
.
Exercícios relacionados
Seja
. Provar que
Provar que, se
são distintos, então
onde
Simplificar as expressões, isto é, representar cada um dos seguintes polinômios como exigido no problema anterior:
.
Provar que