Simplificar as expressões, isto é, representar cada um dos seguintes polinômios como exigido no problema anterior:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para simplificar um polinômio que é a soma de várias expressões multiplicadas por frações. Estamos trabalhando com álgebra, especificamente com polinômios. Para resolver isso, vamos precisar distribuir os fatores em cada termo, expandir os produtos e então combinar os termos semelhantes.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar cada termo separado e expandir as multiplicações. Vamos começar com o primeiro termo:
Vamos expandir .

Passo 3

Para expandir , primeiro multiplicamos dois desses binômios:
Agora, multiplicamos o resultado por :
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos para o segundo termo:
Primeiro, multiplicamos :
Então, multiplicamos por :

Passo 5

O terceiro termo é:
Vamos expandir :
Multiplicando por :
Então:

Passo 6

Por último, temos o quarto termo:
Vamos expandir :
Multiplicando por :
Então:

Passo 7

Agora, vamos somar todos os termos que obtivemos:

Passo 8

Vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termos de :
  • Termo constante:

Resposta

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Newton Provar que para todo o polinômio
satisfaz as condições
Seja . Provar que
Provar que
Seja . Provar que sempre quando os nós da interpolação são distintos.