Provar que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a soma dos polinômios de Lagrange, representados por , de até , é igual a 1 para todo real. Ou seja:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de polinômios de interpolação de Lagrange. Esses polinômios são usados para encontrar um polinômio que passa por um conjunto de pontos dados. Vamos precisar entender a definição dos polinômios de Lagrange e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Lagrange . Ele é definido da seguinte forma:
Aqui, são os pontos de interpolação, e cada é construído de modo que:
Isso significa que cada polinômio de Lagrange é igual a 1 em seu próprio ponto e 0 nos outros pontos .

Passo 3

Agora, vamos analisar a soma dos polinômios de Lagrange:
Queremos provar que essa soma é igual a 1 para qualquer valor de . Para fazer isso, vamos considerar a função:
Nos pontos de interpolação , temos:
Usando a propriedade dos polinômios de Lagrange que vimos no Passo 2, sabemos que é 1 apenas quando e 0 caso contrário. Portanto:
Isso significa que passa por todos os pontos para .

Passo 4

Agora, observe que é um polinômio. Qual é o grau de ? Cada é um polinômio de grau , e a soma de polinômios de grau também será um polinômio de grau no máximo .
Então, temos um polinômio de grau no máximo que passa por pontos diferentes . Mas há apenas um polinômio de grau no máximo que passa por pontos específicos. E esse polinômio é o polinômio constante:
Portanto, deve ser igual a 1 para todo .

Resposta

Exercícios relacionados

Simplificar as expressões, isto é, representar cada um dos seguintes polinômios como exigido no problema anterior:
.
Newton Provar que para todo o polinômio
satisfaz as condições
Seja . Provar que sempre quando os nós da interpolação são distintos.
Provar que