Seja
. Provar que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa provar que o diferença dividida dessa função nos pontos
é igual a 1. Pra isso, vamos precisar entender o que são diferenças divididas e como elas funcionam na interpolação de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma diferença dividida. É uma forma de calcular coeficientes que nos ajudam a construir um polinômio que passa por um conjunto de pontos. A diferença dividida de ordem
para os pontos
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Primeiro, substituímos
por
:
Passo 4
Observa que o numerador
pode ser expandido usando o teorema do binômio ou propriedades de polinômios, mas percebemos que quando procuramos o polinômio interpolador de grau
que passa por esses pontos, os coeficientes das diferenças divididas acabam sendo constantes. No caso específico de
, cada diferença dividida de ordem
resulta em 1.
Passo 5
Para entender melhor, vamos perceber que
é exatamente um polinômio de grau
, e as diferenças divididas calculadas sobre
pontos distintos são os coeficientes do polinômio em sua forma interpoladora de Newton. Como
já é um polinômio de grau
, o coeficiente da diferença dividida de ordem
deve ser igual a 1 para que a igualdade
seja satisfeita.
Resposta
Portanto, provamos que
Exercícios relacionados
Provar que, se
são distintos, então
onde
Simplificar as expressões, isto é, representar cada um dos seguintes polinômios como exigido no problema anterior:
.
Newton Provar que para todo
o polinômio
satisfaz as condições
Simplificar as expressões, isto é, representar cada um dos seguintes polinômios como exigido no problema anterior:
.