Seja f(x)=x^n. Provar que
f[x0, x1, ldots, xn]=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa provar que o diferença dividida dessa função nos pontos é igual a 1. Pra isso, vamos precisar entender o que são diferenças divididas e como elas funcionam na interpolação de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma diferença dividida. É uma forma de calcular coeficientes que nos ajudam a construir um polinômio que passa por um conjunto de pontos. A diferença dividida de ordem f[x0, x1, ldots, xn] = sumi=0^n f(xi)prodj=0, j neq i^n (xi - xj) para os pontos é dada por:

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função f[x0, x1, ldots, xn] = sumi=0^n xi^nprodj=0, j neq i^n (xi - xj) . Primeiro, substituímos por :

Passo 4

Observa que o numerador pode ser expandido usando o teorema do binômio ou propriedades de polinômios, mas percebemos que quando procuramos o polinômio interpolador de grau que passa por esses pontos, os coeficientes das diferenças divididas acabam sendo constantes. No caso específico de , cada diferença dividida de ordem resulta em 1.

Passo 5

Para entender melhor, vamos perceber que é exatamente um polinômio de grau , e as diferenças divididas calculadas sobre pontos distintos são os coeficientes do polinômio em sua forma interpoladora de Newton. Como já é um polinômio de grau , o coeficiente da diferença dividida de ordem deve ser igual a 1 para que a igualdade seja satisfeita.

Resposta

Portanto, provamos que
f[x0, x1, ldots, xn] = 1

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