Seja . Provar que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa provar que o diferença dividida dessa função nos pontos é igual a 1. Pra isso, vamos precisar entender o que são diferenças divididas e como elas funcionam na interpolação de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma diferença dividida. É uma forma de calcular coeficientes que nos ajudam a construir um polinômio que passa por um conjunto de pontos. A diferença dividida de ordem para os pontos é dada por:

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função . Primeiro, substituímos por :

Passo 4

Observa que o numerador pode ser expandido usando o teorema do binômio ou propriedades de polinômios, mas percebemos que quando procuramos o polinômio interpolador de grau que passa por esses pontos, os coeficientes das diferenças divididas acabam sendo constantes. No caso específico de , cada diferença dividida de ordem resulta em 1.

Passo 5

Para entender melhor, vamos perceber que é exatamente um polinômio de grau , e as diferenças divididas calculadas sobre pontos distintos são os coeficientes do polinômio em sua forma interpoladora de Newton. Como já é um polinômio de grau , o coeficiente da diferença dividida de ordem deve ser igual a 1 para que a igualdade seja satisfeita.

Resposta

Portanto, provamos que

Exercícios relacionados

Provar que, se são distintos, então
onde
Simplificar as expressões, isto é, representar cada um dos seguintes polinômios como exigido no problema anterior:
.
Newton Provar que para todo o polinômio
satisfaz as condições
Simplificar as expressões, isto é, representar cada um dos seguintes polinômios como exigido no problema anterior:
.