Seja
. Provar que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa provar que o diferença dividida dessa função nos pontos
é igual a 1. Pra isso, vamos precisar entender o que são diferenças divididas e como elas funcionam na interpolação de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma diferença dividida. É uma forma de calcular coeficientes que nos ajudam a construir um polinômio que passa por um conjunto de pontos. A diferença dividida de ordem
para os pontos
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Primeiro, substituímos
por
:
Passo 4
Observa que o numerador
pode ser expandido usando o teorema do binômio ou propriedades de polinômios, mas percebemos que quando procuramos o polinômio interpolador de grau
que passa por esses pontos, os coeficientes das diferenças divididas acabam sendo constantes. No caso específico de
, cada diferença dividida de ordem
resulta em 1.
Passo 5
Para entender melhor, vamos perceber que
é exatamente um polinômio de grau
, e as diferenças divididas calculadas sobre
pontos distintos são os coeficientes do polinômio em sua forma interpoladora de Newton. Como
já é um polinômio de grau
, o coeficiente da diferença dividida de ordem
deve ser igual a 1 para que a igualdade
seja satisfeita.
Resposta
Portanto, provamos que