Use o algoritmo de Euclides para obter os números r e s satisfazendo:
© m d c(119,272)=119 r+272 s.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos usar o Algoritmo de Euclides para encontrar dois números, mdc(119, 272) = 119, r + 272, s e , que satisfaçam a seguinte equação:
Aqui, mdc significa máximo divisor comum, ou seja, o maior número que divide tanto 119 quanto 272. Para resolver isso, vamos usar o Algoritmo de Euclides estendido, que além de encontrar o mdc, também nos dá os coeficientes e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o mdc de 119 e 272 usando o Algoritmo de Euclides. O processo é o seguinte:
  1. Dividimos o número maior pelo menor e obtemos o resto.
  2. Substituímos o número maior pelo menor e o menor pelo resto.
  3. Repetimos esse processo até que o resto seja zero. O último resto diferente de zero é o mdc.
Vamos aplicar isso:
272 div 119 = 2 com resto 34
119 div 34 = 3 com resto 17
34 div 17 = 2 com resto 0
Então, o mdc(119, 272) = 17.

Passo 3

Agora, vamos usar o Algoritmo de Euclides Estendido para encontrar os coeficientes 17 = 119, r + 272, s e 17 = 119 - 3 times 34 tais que:
34 = 272 - 2 times 119
Para isso, vamos trabalhar de trás para frente, usando os restos que encontramos:
  1. Da última divisão antes do resto zero: 17 = 119 - 3 times (272 - 2 times 119) = 119 - 3 times 272 + 6 times 119 = 7 times 119 - 3 times 272
  2. Mas sabemos que: Substituindo na equação anterior:

Passo 4

Agora, identificamos os coeficientes 17 = 7 times 119 - 3 times 272 e r = 7 e s = -3 :
Portanto:

Resposta

Os números que satisfazem a equação são:
r = 7 e s = -3

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