Use o método da bisseção para calcular uma solução das equaçőes (Zero da função):
f(x)=e^x-x-2
B) 1=x log x, no intervalo [2,3], com precisão (tolerância) =2 cdot 10^-3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação no intervalo usando o método da bisseção. O método da bisseção é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas, ou seja, valores de que fazem . Aqui, vamos precisar definir nossa função, verificar os sinais nos extremos do intervalo e iterar dividindo o intervalo até alcançar a precisão desejada de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que possamos aplicar o método da bisseção. Subtraindo 1 de ambos os lados, temos:
f(x) = x log x - 1
Queremos encontrar tal que .

Passo 3

Agora, vamos verificar os valores da função nos extremos do intervalo f(2) = 2 log 2 - 1 approx 2 times 0.3010 - 1 = 0.6020 - 1 = -0.3980 :
  • Em f(3) = 3 log 3 - 1 approx 3 times 0.4771 - 1 = 1.4313 - 1 = 0.4313 :
  • Em :
Como é negativo e é positivo, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz no intervalo .

Passo 4

Vamos iniciar o método da bisseção dividindo o intervalo ao meio e verificando o sinal de c = 2 + 32 = 2.5 no ponto médio.
  • Calculamos o ponto médio:
f(2.5) = 2.5 log 2.5 - 1 approx 2.5 times 0.3979 - 1 = 0.9948 - 1 = -0.0052
  • Avaliamos a função em :
Como é ligeiramente negativo, sabemos que a raiz está entre e .

Passo 5

Vamos repetir o processo no intervalo c = 2.5 + 32 = 2.75 :
  • Calculamos o novo ponto médio:
f(2.75) = 2.75 log 2.75 - 1 approx 2.75 times 0.4393 - 1 = 1.2070 - 1 = 0.2070
  • Avaliamos a função em :
Agora, é positivo, então a raiz está entre e .

Passo 6

Continuamos com o intervalo c = 2.5 + 2.752 = 2.625 :
  • Ponto médio:
f(2.625) = 2.625 log 2.625 - 1 approx 2.625 times 0.4191 - 1 = 1.0991 - 1 = 0.0991
  • Avaliação:
Como é positivo, a raiz está entre e .

Passo 7

Mais uma iteração no intervalo c = 2.5 + 2.6252 = 2.5625 :
  • Ponto médio:
f(2.5625) = 2.5625 log 2.5625 - 1 approx 2.5625 times 0.4082 - 1 = 1.0433 - 1 = 0.0433
  • Avaliação:
Ainda positivo, então a raiz está entre e .

Passo 8

Continuando com c = 2.5 + 2.56252 = 2.53125 :
  • Ponto médio:
f(2.53125) = 2.53125 log 2.53125 - 1 approx 2.53125 times 0.4037 - 1 = 1.0221 - 1 = 0.0221
  • Avaliação:
Positivo novamente, então a raiz está entre e .

Passo 9

Mais uma vez, no intervalo c = 2.5 + 2.531252 = 2.515625 :
  • Ponto médio:
f(2.515625) = 2.515625 log 2.515625 - 1 approx 2.515625 times 0.4016 - 1 = 1.0103 - 1 = 0.0103
  • Avaliação:
Ainda positivo, então a raiz está entre e .

Passo 10

Finalmente, com c = 2.5 + 2.5156252 = 2.5078125 :
  • Ponto médio:
f(2.5078125) = 2.5078125 log 2.5078125 - 1 approx 2.5078125 times 0.4010 - 1 = 1.0063 - 1 = 0.0063
  • Avaliação:
Como a diferença entre os pontos médios consecutivos é menor que , atingimos a precisão desejada.

Resposta

A solução aproximada da equação no intervalo com tolerância de é .

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