Os números que podem ser representados com exatidão em um computador são denominados números de máquina. Nas operações de ponto fixo, os números de máquina são representados como uma soma limitada de termos da forma:
A representação binária de 0.2 é a seguinte fração periódica:
Qual é o erro na representação de 0.2 em um computador que utilize o sistema de ponto flutuante ?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente sabe que alguns números não conseguem ser representados exatamente nos computadores e esses são chamados de números de máquina. No caso, a questão fala sobre a representação binária de 0,2, que é uma fração periódica. A gente vai usar o sistema de ponto flutuante para ver qual é o erro nessa representação. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a representação em ponto flutuante e como calcular o erro entre o número real e o número de máquina mais próximo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o sistema de ponto flutuante . Aqui, indica que é um sistema de ponto flutuante, o 2 significa que a base é binária, 16 é o número de bits usados para a fração (mantissa), e -37 e 38 são os limites mínimo e máximo para o expoente, respectivamente. Isso determina como o número é armazenado e a precisão que podemos ter.
Passo 3
Agora, vamos representar o número 0,2 em binário com precisão limitada. Sabemos que 0,2 em binário é uma fração periódica: . Mas como o computador tem uma precisão limitada (16 bits na mantissa), não conseguimos representar todos os dígitos dessa fração. Então, vamos truncar ou arredondar essa representação para caber nos 16 bits disponíveis.
Passo 4
Vamos converter a parte fracionária de 0,2 para binário até termos 16 bits:
Aqui, os primeiros 16 bits da mantissa são . Esse será o número de máquina que o computador vai usar para representar 0,2.
Passo 5
Agora, vamos converter esse número binário de volta para decimal para saber qual é o valor exato que está sendo armazenado:
Calculando isso, obtemos aproximadamente:
Passo 6
Finalmente, para encontrar o erro na representação, subtraímos o valor armazenado pelo valor real:
Resposta
O erro na representação de 0,2 no sistema de ponto flutuante �� de aproximadamente .