Os números que podem ser representados com exatidão em um computador são denominados números de máquina. Nas operações de ponto fixo, os números de máquina são representados como uma soma limitada de termos da forma:
pm sumk=1^m dk 2^-k, dk in0,1
A representação binária de 0.2 é a seguinte fração periódica:
0.2=0 001100110011 ldots
Qual é o erro na representação de 0.2 em um computador que utilize o sistema de ponto flutuante F(2,16,-38,38) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre números de máquina, que são os números que um computador consegue representar exatamente. No caso, estamos lidando com ponto fixo e ponto flutuante. A pergunta quer saber qual é o erro na representação do número 0.2 usando o sistema de ponto flutuante F(2,16,-38,38). Para resolver isso, vamos precisar entender como os números são representados nesse sistema e calcular a diferença entre o valor real de 0.2 e a sua representação no computador.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o sistema de ponto flutuante F(2,16,-38,38):
  • Base (b): 2 (binário)
  • Precisão (t): 16 bits para a mantissa (a parte significativa do número)
  • Exponente mínimo (emin): -38
  • Exponente máximo (emax): 38
Isso significa que qualquer número representado nesse sistema será da forma:
pm 1d1d2d3ldots d15d16 times 2^e
onde está entre -38 e 38, e são bits (0 ou 1).

Passo 3

Agora, vamos representar o número 0.2 nesse sistema. Primeiro, vamos converter 0.2 para binário. Sabemos que:
0.2 = 00011
Isso significa que a representação binária de 0.2 é uma fração periódica 0011 contínua.

Passo 4

Como a mantissa no nosso sistema tem 16 bits, vamos truncar a representação binária de 0.2 após 16 bits:
0.2 approx 0.0011001100110011
Essa é a aproximação binária de 0.2 com 16 bits de precisão.

Passo 5

Agora, vamos converter essa representação binária de volta para decimal para encontrar a aproximação que o computador está usando:
0.00110011001100112 = 1 times 2^-3 + 1 times 2^-4 + 0 times 2^-5 + 0 times 2^-6 + ldots + 1 times 2^-15 + 1 times 2^-16
Calculando isso, obtemos aproximadamente:
0.2 approx 0.20000004768371582

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o erro na representação. O erro é a diferença entre o valor real e a aproximação:
Erro = |0.2 - 0.20000004768371582| approx 0.00000004768371582

Resposta

O erro na representação de 0.2 no sistema de ponto flutuante F(2,16,-38,38) é aproximadamente 0.00000004768.

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