Sejam os planos:
Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata da interseção entre planos no espaço tridimensional. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de planos e suas interseções. Para resolver, vamos precisar usar sistemas de equações lineares e entender como encontrar a linha que resulta da interseção de dois planos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a interseção entre os planos e . Para isso, precisamos resolver o sistema de equações formado por essas duas equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Vamos eliminar uma das variáveis para facilitar. Vamos subtrair a equação (2) da equação (1):
Simplificando:
Podemos dividir ambos os lados por 2 para simplificar ainda mais:

Passo 4

Agora, vamos expressar em função de :

Passo 5

Com em função de , podemos escolher como parâmetro . Assim, temos:

Passo 6

Agora, substituímos e na equação (1) para encontrar :

Passo 7

Então, a interseção é a linha parametrizada por:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a interseção entre os planos e . Novamente, resolvemos o sistema de equações:

Passo 9

Vamos multiplicar a equação (1) por 2 para facilitar a eliminação de :

Passo 10

Agora, somamos a equação (6) com a equação (5):

Passo 11

Vamos resolver a equação (7) para :

Passo 12

Escolhemos como parâmetro. Então:

Passo 13

Substituímos e na equação (1) para encontrar :

Passo 14

Então, a interseção é a linha parametrizada por:

Passo 15

Por fim, vamos encontrar a interseção entre os planos e . Resolvemos o sistema:

Passo 16

Vamos multiplicar a equação (2) por 2 para facilitar a eliminação de :

Passo 17

Agora, somamos a equação (9) com a equação (5):

Passo 18

Com , substituímos na equação (2):

Passo 19

Vamos escolher como parâmetro. Então:

Passo 20

Portanto, a interseção é a linha parametrizada por:

Resposta

As interseções dos planos são:
  1. :
  1. :
  1. :

Exercícios relacionados

Observe o sistema a seguir:
Analise as seguintes afirmações:
I. Se e então o sistema é impossível.
II. Se e então o sistema é possível e indeterminado.
III. Se é possível e determinado.
(a) Apenas uma é verdadeira.
(b) Apenas duas estão corretas.
© Todas estão corretas.
(d) Todas estão erradas.
Sejam as seguintes retas:
Determine e .
Uma padaria possui disponível os seguintes ingredientes: 14 Kg de farinha, 10 Kg de açúcar e 8 Litros de leite. A tabela abaixo informa a quantidade de ingredientes necessários para fazer determinado produto e seu respectivo lucro.
Farinha(kg) Açucar(kg) Leite(L) Lucro(R$)
Bolo 1 2 1 1,20
Torta 2 1 1 1,60
Pão 1 2 1 1,40
Supondo que tudo que é produzido é vendido, determine a produção possível com os ingredientes disponíveis que maximiza o lucro.
Sabe-se que o triplo de x mais o dobro de y totalizam quarenta e cinco e que a diferença entre o dobro de x e y é igual a dois. Determine os números x e y.