Sejam os planos:
cc pi1: & x1+5 x2-x3=0 pi2: & x1-x2+x3=-1 pi3: & -2 x1+x2-2 x3=2
Determine pi1 cap pi2, pi1 cap pi3 e pi2 cap pi3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata da interseção entre planos no espaço tridimensional. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de planos e suas interseções. Para resolver, vamos precisar usar sistemas de equações lineares e entender como encontrar a linha que resulta da interseção de dois planos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a interseção entre os planos x1 + 5x2 - x3 = 0 (1) x1 - x2 + x3 = -1 (2) e . Para isso, precisamos resolver o sistema de equações formado por essas duas equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Vamos eliminar uma das variáveis para facilitar. Vamos subtrair a equação (2) da equação (1):
(x1 + 5x2 - x3) - (x1 - x2 + x3) = 0 - (-1))
Simplificando:
6x2 - 2x3 = 1
Podemos dividir ambos os lados por 2 para simplificar ainda mais:
3x2 - x3 = 12 (3)

Passo 4

Agora, vamos expressar x3 = 3x2 - 12 (4) em função de :

Passo 5

Com x2 = t em função de x3 = 3t - 12 , podemos escolher como parâmetro . Assim, temos:

Passo 6

Agora, substituímos x1 + 5t - (3t - 12) = 0 e x1 + 5t - 3t + 12 = 0 na equação (1) para encontrar x1 + 2t + 12 = 0 :
x1 = -2t - 12

Passo 7

Então, a interseção x1 = -2t - 12 x2 = t x3 = 3t - 12 é a linha parametrizada por:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a interseção entre os planos x1 + 5x2 - x3 = 0 (1) -2x1 + x2 - 2x3 = 2 (5) e . Novamente, resolvemos o sistema de equações:

Passo 9

Vamos multiplicar a equação (1) por 2 para facilitar a eliminação de 2x1 + 10x2 - 2x3 = 0 (6) :

Passo 10

Agora, somamos a equação (6) com a equação (5):
(2x1 + 10x2 - 2x3) + (-2x1 + x2 - 2x3) = 0 + 2)
11x2 - 4x3 = 2 (7)

Passo 11

Vamos resolver a equação (7) para 11x2 - 4x3 = 2 :
4x3 = 11x2 - 2
x3 = 114x2 - 12 (8)

Passo 12

Escolhemos x2 = t como parâmetro. Então:
x3 = 114t - 12

Passo 13

Substituímos x1 + 5t - (114t - 12) = 0 e x1 + 5t - 114t + 12 = 0 na equação (1) para encontrar x1 + 94t + 12 = 0 :
x1 = -94t - 12

Passo 14

Então, a interseção x1 = -94t - 12 x2 = t x3 = 114t - 12 é a linha parametrizada por:

Passo 15

Por fim, vamos encontrar a interseção entre os planos x1 - x2 + x3 = -1 (2) -2x1 + x2 - 2x3 = 2 (5) e . Resolvemos o sistema:

Passo 16

Vamos multiplicar a equação (2) por 2 para facilitar a eliminação de 2x1 - 2x2 + 2x3 = -2 (9) :

Passo 17

Agora, somamos a equação (9) com a equação (5):
(2x1 - 2x2 + 2x3) + (-2x1 + x2 - 2x3) = -2 + 2)
- x2 = 0
x2 = 0

Passo 18

Com x1 + x3 = -1 (10) , substituímos na equação (2):

Passo 19

Vamos escolher x3 = t como parâmetro. Então:
x1 = -1 - t
x2 = 0

Passo 20

Portanto, a interseção x1 = -1 - t x2 = 0 x3 = t é a linha parametrizada por:

Resposta

As interseções dos planos são:
  1. x1 = -2t - 12 x2 = t x3 = 3t - 12 :
x1 = -94t - 12 x2 = t x3 = 114t - 12
  1. x1 = -1 - t x2 = 0 x3 = t :
  1. :

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