Beleza, vamos resolver esse exercício que trata da interseção entre planos no espaço tridimensional. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de planos e suas interseções. Para resolver, vamos precisar usar sistemas de equações lineares e entender como encontrar a linha que resulta da interseção de dois planos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a interseção entre os planos e . Para isso, precisamos resolver o sistema de equações formado por essas duas equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Vamos eliminar uma das variáveis para facilitar. Vamos subtrair a equação (2) da equação (1):
Simplificando:
Podemos dividir ambos os lados por 2 para simplificar ainda mais:
Passo 4
Agora, vamos expressar em função de :
Passo 5
Com em função de , podemos escolher como parâmetro . Assim, temos:
Passo 6
Agora, substituímos e na equação (1) para encontrar :
Passo 7
Então, a interseção é a linha parametrizada por:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a interseção entre os planos x1 + 5x2 - x3 = 0 (1) -2x1 + x2 - 2x3 = 2 (5) e . Novamente, resolvemos o sistema de equações:
Passo 9
Vamos multiplicar a equação (1) por 2 para facilitar a eliminação de 2x1 + 10x2 - 2x3 = 0 (6) :
Passo 10
Agora, somamos a equação (6) com a equação (5):
(2x1 + 10x2 - 2x3) + (-2x1 + x2 - 2x3) = 0 + 2)
11x2 - 4x3 = 2 (7)
Passo 11
Vamos resolver a equação (7) para 11x2 - 4x3 = 2 :