Obtenha a equação que define a solução do sistema por eliminação de Gauss;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para obter a equação que define a solução de um sistema usando a eliminação de Gauss. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente no método de resolução de sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar sistemas de equações lineares, tornando mais fácil encontrar suas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um sistema linear é composto por várias equações lineares que precisamos resolver juntas. A eliminação de Gauss nos ajuda a transformar esse sistema em uma forma mais simples, chamada de escalonamento, onde podemos obter as soluções de maneira mais direta.

Passo 3

O método de eliminação de Gauss envolve três operações fundamentais:
  1. Trocar duas equações entre si.
  2. Multiplicar uma equação por um número diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair múltiplos de uma equação a outra equação.
Essas operações são usadas para eliminar uma variável de uma equação, facilitando a resolução do sistema passo a passo.

Passo 4

Vamos considerar um sistema linear genérico com três equações e três incógnitas para ilustrar o processo:
Nosso objetivo é transformar esse sistema em uma forma escalonada, onde podemos resolver uma equação de cada vez.

Passo 5

Aplicando a eliminação de Gauss, começamos pelo primeiro pivô, que é o coeficiente de na primeira equação, . Queremos zerar os coeficientes de nas segunda e terceira equações. Para isso, usamos as operações mencionadas anteriormente:
  • Multiplicamos a primeira equação por e subtraímos da segunda equação.
  • Multiplicamos a primeira equação por e subtraímos da terceira equação.
Depois dessas operações, as equações ficam assim:

Passo 6

Repetimos o processo para a segunda variável, , usando o novo segundo pivô . Zeramos o coeficiente de na terceira equação da mesma forma:
  • Multiplicamos a segunda equação por e subtraímos da terceira equação.
Isso nos deixa com um sistema triangular superior:

Passo 7

Agora que temos o sistema escalonado, podemos resolver de baixo para cima:
  1. Terceira equação: Resolve-se para :
  2. Segunda equação: Substitui-se o valor de e resolve-se para :
  3. Primeira equação: Substitui-se os valores de e e resolve-se para :

Resposta

A equação que define a solução do sistema pelo método de eliminação de Gauss é:

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