Obtenha a equação que define a solução do sistema por eliminação de Gauss;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para obter a equação que define a solução de um sistema usando a eliminação de Gauss. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente no método de resolução de sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar sistemas de equações lineares, tornando mais fácil encontrar suas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um sistema linear é composto por várias equações lineares que precisamos resolver juntas. A eliminação de Gauss nos ajuda a transformar esse sistema em uma forma mais simples, chamada de escalonamento, onde podemos obter as soluções de maneira mais direta.
Passo 3
O método de eliminação de Gauss envolve três operações fundamentais:
Trocar duas equações entre si.
Multiplicar uma equação por um número diferente de zero.
Adicionar ou subtrair múltiplos de uma equação a outra equação.
Essas operações são usadas para eliminar uma variável de uma equação, facilitando a resolução do sistema passo a passo.
Passo 4
Vamos considerar um sistema linear genérico com três equações e três incógnitas para ilustrar o processo:
Nosso objetivo é transformar esse sistema em uma forma escalonada, onde podemos resolver uma equação de cada vez.
Passo 5
Aplicando a eliminação de Gauss, começamos pelo primeiro pivô, que é o coeficiente de na primeira equação, . Queremos zerar os coeficientes de nas segunda e terceira equações. Para isso, usamos as operações mencionadas anteriormente:
Multiplicamos a primeira equação por e subtraímos da segunda equação.
Multiplicamos a primeira equação por e subtraímos da terceira equação.
Depois dessas operações, as equações ficam assim:
Passo 6
Repetimos o processo para a segunda variável, , usando o novo segundo pivô . Zeramos o coeficiente de na terceira equação da mesma forma:
Multiplicamos a segunda equação por e subtraímos da terceira equação.
Isso nos deixa com um sistema triangular superior:
Passo 7
Agora que temos o sistema escalonado, podemos resolver de baixo para cima:
Terceira equação: Resolve-se para :
Segunda equação: Substitui-se o valor de e resolve-se para :
Primeira equação: Substitui-se os valores de e e resolve-se para :
Resposta
A equação que define a solução do sistema pelo método de eliminação de Gauss é: