Use o método da falsa posição para calcular o zero da função:
E) f(x)=x^3+3, no intervalo [-1.5,1.0], com varepsilon <= 1 times 10^-1

Passo 1

Resumo do Enunciado: Precisamos usar o método da falsa posição para encontrar o zero (ou raiz) da função no intervalo , garantindo que o erro seja menor ou igual a .
Conteúdo da Matéria: Método da falsa posição (Regula Falsi), uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas em um intervalo onde a função muda de sinal.
O que vamos precisar: Avaliar a função nos pontos do intervalo, aplicar a fórmula da falsa posição para obter uma nova aproximação da raiz e verificar se o erro está dentro do limite estabelecido.

Passo 2

Verificar a Mudança de Sinal no Intervalo:
Primeiro, vamos calcular os valores da função nos extremos do intervalo para confirmar que há uma mudança de sinal, o que indica a presença de uma raiz.
f(-1.5) = (-1.5)^3 + 3 = -3.375 + 3 = -0.375
f(1.0) = (1.0)^3 + 3 = 1 + 3 = 4
Como e , a função muda de sinal no intervalo , portanto, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Aplicar a Fórmula da Falsa Posição:
A fórmula para encontrar uma nova aproximação xr = b - f(b)(b - a)f(b) - f(a) é:
xr = 1.0 - 4 times (1.0 - (-1.5))4 - (-0.375) = 1.0 - 4 times 2.54.375 = 1.0 - 104.375 approx 1.0 - 2.2857 = -1.2857
Onde:
Substituindo os valores:

Passo 4

Calcular o Valor da Função em f(-1.2857) = (-1.2857)^3 + 3 approx -2.125 + 3 = 0.875 e Verificar o Erro:
Vamos calcular |xr - a| = |-1.2857 - (-1.5)| = 0.2143 :
Agora, verificamos o erro:
Como , o erro ainda está acima do limite, então precisamos continuar o processo.

Passo 5

Segunda Iteração do Método:
Atualizamos os valores de xr = -1.2857 - 0.875 times (-1.2857 - (-1.5))0.875 - (-0.375) = -1.2857 - 0.875 times 0.21431.25 approx -1.2857 - 0.18751.25 = -1.2857 - 0.15 = -1.4357 e |xr - a| = |-1.4357 - (-1.5)| = 0.0643 com base no sinal de :
  • (negativo)
  • (positivo)
Portanto, a nova será .
Aplicamos novamente a fórmula da falsa posição:
Verificando o Novo Erro:
Agora, , então atingimos a precisão desejada.

Resposta

Aproximamos a raiz da função no intervalo usando o método da falsa posição e encontramos que com um erro menor ou igual a .

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