Use o método da falsa posição para calcular o zero da função:
C) f(x)=x log x-1, no intervalo [2,3], com varepsilon <= 2 times 10^-3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o zero da função no intervalo usando o método da falsa posição. Esse método faz parte da matéria de Métodos Numéricos e ajuda a encontrar raízes de funções de forma aproximada. Para isso, vamos precisar avaliar a função nos extremos do intervalo e aplicar a fórmula da falsa posição iterativamente até que a precisão desejada ( ) seja alcançada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os valores da função nos pontos extremos do intervalo.
Para f(2) = 2 log 2 - 1 approx 2 times 0,6931 - 1 = 1,3862 - 1 = 0,3862 :
f(3) = 3 log 3 - 1 approx 3 times 1,0986 - 1 = 3,2958 - 1 = 2,2958
Para f(1) = 1 log 1 - 1 = 0 - 1 = -1 :
Como e são ambos positivos, precisamos escolher outro ponto onde a função mude de sinal para aplicar o método da falsa posição corretamente. Vamos tentar :
Para :
Agora, sabemos que há uma mudança de sinal entre ( ) e ( ), indicando que existe uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula da falsa posição para encontrar uma aproximação da raiz. A fórmula é:
xr = a - f(a) times (b - a)f(b) - f(a)
Onde xr = 1 - -1 times (2 - 1)0,3862 - (-1) = 1 - -11,3862 approx 1 + 0,7213 = 1,7213 e .
Calculando:

Passo 4

Agora, vamos calcular f(1,7213) = 1,7213 log 1,7213 - 1 approx 1,7213 times 0,5425 - 1 = 0,9330 - 1 = -0,0670 :
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre e .

Passo 5

Aplicamos novamente a fórmula da falsa posição com xr = 1,7213 - -0,0670 times (2 - 1,7213)0,3862 - (-0,0670) = 1,7213 - -0,0670 times 0,27870,4532 approx 1,7213 + 0,0412 = 1,7625 e :

Passo 6

Calculamos f(1,7625) = 1,7625 log 1,7625 - 1 approx 1,7625 times 0,5672 - 1 = 1,0000 - 1 = 0,0000 :

Resposta

A raiz da função no intervalo com precisão é aproximadamente .

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