Obtenha a raiz quadrada do número 7, usando o método de Newton com precisão epsilon1=epsilon2=0,0001.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é para encontrar a raiz quadrada de 7 usando o método de Newton. Esse método é uma técnica bem legal da matemática para aproximar raízes de equações. A gente vai usar uma precisão de epsilon1 = epsilon2 = 0,0001, ou seja, queremos que o resultado seja bem certinho até a quarta casa decimal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método de Newton. Ele é usado para encontrar as raízes de uma função f(x), ou seja, os valores de x que fazem f(x) = 0. A fórmula geral do método de Newton é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, xn é a nossa estimativa atual, e xn+1 é a próxima estimativa. f'(xn) é a derivada da função no ponto xn.

Passo 3

No nosso caso, queremos encontrar a raiz quadrada de 7, ou seja, resolver x^2 = 7. Podemos reorganizar essa equação para f(x) = x^2 - 7 = 0. Portanto, nossa função é f(x) = x^2 - 7.

Passo 4

Agora, precisamos da derivada dessa função para aplicar a fórmula do método de Newton. A derivada de f(x) = x^2 - 7 é f'(x) = 2x.

Passo 5

Vamos escolher um palpite inicial, x0, para começar o processo. Um bom palpite seria x0 = 2, já que 2^2 = 4 está perto de 7.

Passo 6

Aplicando a fórmula do método de Newton:
x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = 2 - 2^2 - 72 times 2 = 2 - 4 - 74 = 2 - -34 = 2 + 0,75 = 2,75

Passo 7

Agora temos x1 = 2,75. Vamos calcular x2 usando o mesmo processo:
x2 = 2,75 - (2,75)^2 - 72 times 2,75 = 2,75 - 7,5625 - 75,5 = 2,75 - 0,56255,5 approx 2,75 - 0,10227 approx 2,64773

Passo 8

Continuando, calculamos x3:
x3 = 2,64773 - (2,64773)^2 - 72 times 2,64773 approx 2,64773 - 6,99204 - 75,29546 approx 2,64773 - -0,007965,29546 approx 2,64773 + 0,0015 approx 2,64923

Passo 9

Vamos verificar a precisão entre x3 e x2:
|x3 - x2| = |2,64923 - 2,64773| = 0,0015 < 0,0001?
Não, ainda não atingimos a precisão desejada. Vamos para x4:
x4 = 2,64923 - (2,64923)^2 - 72 times 2,64923 approx 2,64923 - 7,00005 - 75,29846 approx 2,64923 - 0,000055,29846 approx 2,64923 - 0,00001 approx 2,64922

Resposta

A raiz quadrada de 7, aproximada pelo método de Newton com precisão de 0,0001, é aproximadamente 2,6458.

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