Obtenha a raiz quadrada do número 7, usando o método de Newton com precisão
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é para encontrar a raiz quadrada de 7 usando o método de Newton. Esse método é uma técnica bem legal da matemática para aproximar raízes de equações. A gente vai usar uma precisão de
, ou seja, queremos que o resultado seja bem certinho até a quarta casa decimal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método de Newton. Ele é usado para encontrar as raízes de uma função
, ou seja, os valores de
que fazem
. A fórmula geral do método de Newton é:
Aqui,
é a nossa estimativa atual, e
é a próxima estimativa.
é a derivada da função no ponto
.
Passo 3
No nosso caso, queremos encontrar a raiz quadrada de 7, ou seja, resolver
. Podemos reorganizar essa equação para
. Portanto, nossa função é
.
Passo 4
Agora, precisamos da derivada dessa função para aplicar a fórmula do método de Newton. A derivada de
é
.
Passo 5
Vamos escolher um palpite inicial,
, para começar o processo. Um bom palpite seria
, já que
está perto de 7.
Passo 6
Aplicando a fórmula do método de Newton:
Passo 7
Agora temos
. Vamos calcular
usando o mesmo processo:
Passo 8
Continuando, calculamos
:
Passo 9
Vamos verificar a precisão entre
e
:
Não, ainda não atingimos a precisão desejada. Vamos para
:
Resposta
A raiz quadrada de 7, aproximada pelo método de Newton com precisão de
, é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Seja
. Dado que o intervalo inicial é
, encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo o método da secante com precisões
e
.
As raízes de
podem ser determinadas usando o MPF
Considerando os processo iterativos:
a)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.
Considerando os processo iterativos:
a)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.
Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão
:
a)
a)
Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão
:
b)
b)