Obtenha a raiz quadrada do número 7, usando o método de Newton com precisão .

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é para encontrar a raiz quadrada de 7 usando o método de Newton. Esse método é uma técnica bem legal da matemática para aproximar raízes de equações. A gente vai usar uma precisão de , ou seja, queremos que o resultado seja bem certinho até a quarta casa decimal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método de Newton. Ele é usado para encontrar as raízes de uma função , ou seja, os valores de que fazem . A fórmula geral do método de Newton é:
Aqui, é a nossa estimativa atual, e é a próxima estimativa. é a derivada da função no ponto .

Passo 3

No nosso caso, queremos encontrar a raiz quadrada de 7, ou seja, resolver . Podemos reorganizar essa equação para . Portanto, nossa função é .

Passo 4

Agora, precisamos da derivada dessa função para aplicar a fórmula do método de Newton. A derivada de é .

Passo 5

Vamos escolher um palpite inicial, , para começar o processo. Um bom palpite seria , já que está perto de 7.

Passo 6

Aplicando a fórmula do método de Newton:

Passo 7

Agora temos . Vamos calcular usando o mesmo processo:

Passo 8

Continuando, calculamos :

Passo 9

Vamos verificar a precisão entre e :
Não, ainda não atingimos a precisão desejada. Vamos para :

Resposta

A raiz quadrada de 7, aproximada pelo método de Newton com precisão de , é aproximadamente .

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Seja . Dado que o intervalo inicial é , encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo o método da secante com precisões e .
As raízes de podem ser determinadas usando o MPF
Considerando os processo iterativos:
a)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.
Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão :
a)
Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão :
b)