Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão epsilon1=epsilon2=0,0001 :
b) f(x)=3 x-cos (x)+1=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando o método da bissecção. A equação que temos é e queremos encontrar uma raiz com precisão de . Para isso, vamos precisar identificar um intervalo onde a função troca de sinal e, então, aplicar o método da bissecção iterativamente até chegar na precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um intervalo f(-1) = 3(-1) - cos(-1) + 1 = -3 - cos(1) + 1 approx -3 - 0,5403 + 1 = -2,5403 onde a função f(0) = 3(0) - cos(0) + 1 = 0 - 1 + 1 = 0 muda de sinal, ou seja, onde f(1) = 3(1) - cos(1) + 1 approx 3 - 0,5403 + 1 = 3,4597 e têm sinais opostos. Isso garante que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar alguns valores:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Observamos que e . Como os valores têm sinais opostos, sabemos que há pelo menos uma raiz no intervalo .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da bissecção. Esse método funciona dividindo o intervalo ao meio repetidamente e escolhendo o subintervalo onde ocorre a troca de sinal, refinando assim a localização da raiz.
Primeiro, calculamos o ponto médio c = -1 + 12 = 0 :
f(0) = 0
Calculamos :
Como , encontramos a raiz exata no primeiro passo: . Porém, para fins didáticos, vamos supor que não seja exatamente zero e continuar o processo até atingir a precisão desejada.

Passo 4

Vamos refinar nosso intervalo. Suponha que . Calculamos uma nova função no ponto médio e verificamos o sinal:
Se e tiverem sinais opostos, a raiz está no intervalo . Caso contrário, está no intervalo .
Continuamos esse processo até que a distância entre e seja menor ou igual a .

Passo 5

Aplicando as iterações necessárias, vamos supor que após algumas divisões, o intervalo converge para um valor específico. Vamos supor que, após as iterações, encontramos que a raiz está aproximadamente em:
x approx 0

Resposta

A raiz da equação encontrada pelo método da bissecção com precisão é .

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