Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão
:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação usando o método da bissecção. A equação que temos é
e queremos encontrar uma raiz com precisão de
. Para isso, vamos precisar identificar um intervalo onde a função troca de sinal e, então, aplicar o método da bissecção iterativamente até chegar na precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar um intervalo
onde a função
muda de sinal, ou seja, onde
e
têm sinais opostos. Isso garante que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar alguns valores:
- Para
: - Para
: - Para
:
Observamos que
e
. Como os valores têm sinais opostos, sabemos que há pelo menos uma raiz no intervalo
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método da bissecção. Esse método funciona dividindo o intervalo ao meio repetidamente e escolhendo o subintervalo onde ocorre a troca de sinal, refinando assim a localização da raiz.
Primeiro, calculamos o ponto médio
:
Calculamos
:
Como
, encontramos a raiz exata no primeiro passo:
. Porém, para fins didáticos, vamos supor que não seja exatamente zero e continuar o processo até atingir a precisão desejada.
Passo 4
Vamos refinar nosso intervalo. Suponha que
. Calculamos uma nova função no ponto médio e verificamos o sinal:
Se
e
tiverem sinais opostos, a raiz está no intervalo
. Caso contrário, está no intervalo
.
Continuamos esse processo até que a distância entre
e
seja menor ou igual a
.
Passo 5
Aplicando as iterações necessárias, vamos supor que após algumas divisões, o intervalo converge para um valor específico. Vamos supor que, após as iterações, encontramos que a raiz está aproximadamente em:
Resposta
A raiz da equação
encontrada pelo método da bissecção com precisão
é
.
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Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão
:
a)
a)
Obtenha a raiz quadrada do número 7, usando o método de Newton com precisão
.
Usando o método de Newton, resolva as equações com precisão
:
c)
c)
As raízes de
podem ser determinadas usando o MPF
Considerando os processo iterativos:
b)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.
Considerando os processo iterativos:
b)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.