Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão epsilon1=epsilon2=0,0001 :
a) f(x)=x^3-sen(x)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente vai usar o método da bissecção, que é uma técnica pra encontrar raízes de funções contínuas. A função que queremos resolver é , e a gente quer uma precisão de . Pra isso funcionar, precisamos que a função troque de sinal no intervalo que vamos escolher, ou seja, que e tenham sinais opostos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um intervalo f(0) = 0^3 - sin(0) = 0 - 0 = 0 onde a função muda de sinal. Vamos testar alguns valores:
  • Se f(1) = 1^3 - sin(1) approx 1 - 0,8415 = 0,1585 :
    f(-1) = (-1)^3 - sin(-1) approx -1 - (-0,8415) = -0,1585
  • Se :
  • Se :
Vimos que entre e , a função muda de sinal. Então, vamos usar como nosso intervalo inicial.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da bissecção. Esse método funciona assim:
  1. Calcula o ponto médio do intervalo: .
  2. Avalia a função em : .
  3. Verifica em qual subintervalo ou a função muda de sinal.
  4. Repete o processo no subintervalo selecionado até que a largura do intervalo seja menor ou igual à precisão desejada.
Vamos começar:
Iteração 1:
  • ,
Como , encontramos a raiz exata! Mas, para fins didáticos, vamos continuar um pouco mais.
Iteração 2:
  • Já que , a raiz é .

Resposta

A raiz da equação encontrada pelo método da bissecção com precisão é .

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