Seja f(x)=x^3-9 x+3, x0=0,5, x1=0,7. Dado que o intervalo inicial é I=[0,1], encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo o método da secante com precisões epsilon1=0.01 e epsilon2=0.000001.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o zero da função no intervalo usando o método da secante. Para isso, vamos precisar entender como funciona o método da secante e aplicar suas fórmulas passo a passo com as precisões e . Começaremos com os pontos iniciais e .

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é o método da secante. Esse método é usado para encontrar raízes de funções sem precisar calcular derivadas, como no método de Newton-Raphson. A ideia é usar dois pontos próximos à raiz e traçar uma secante (linha que corta a curva da função) para aproximar a próxima estimativa da raiz.
A fórmula para atualizar a estimativa é:
xn+1 = xn - f(xn) cdot xn - xn-1f(xn) - f(xn-1)
onde e são as duas últimas aproximações da raiz.

Passo 3

Vamos começar calculando os valores de f(x0) = f(0,5) = (0,5)^3 - 9 cdot 0,5 + 3 = 0,125 - 4,5 + 3 = -1,375 para os pontos iniciais:
f(x1) = f(0,7) = (0,7)^3 - 9 cdot 0,7 + 3 = 0,343 - 6,3 + 3 = -2,957

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da secante para encontrar x2 = x1 - f(x1) cdot x1 - x0f(x1) - f(x0) = 0,7 - (-2,957) cdot 0,7 - 0,5-2,957 - (-1,375) :
-2,957 - (-1,375) = -1,582
Calculando o denominador:
x2 = 0,7 - (-2,957) cdot 0,2-1,582 = 0,7 + 2,957 cdot 0,21,582 approx 0,7 + 0,373 = 1,073
Então:

Passo 5

Verificamos a precisão |x2 - x1| = |1,073 - 0,7| = 0,373 . Calculamos a diferença entre e :
Como , precisamos continuar iterando.

Passo 6

Vamos calcular f(1,073) = (1,073)^3 - 9 cdot 1,073 + 3 approx 1,237 - 9,657 + 3 = -5,42 :
x3 = 1,073 - (-5,42) cdot 1,073 - 0,7-5,42 - (-2,957) approx 1,073 - (-5,42) cdot 0,373-2,463 approx 1,073 + 5,42 cdot 0,151 = 1,073 + 0,819 = 1,892
Agora, aplicamos a fórmula da secante para encontrar :

Passo 7

Verificamos novamente a precisão |x3 - x2| = |1,892 - 1,073| = 0,819 > 0,01 :
Continuamos o processo.

Passo 8

Calculamos f(1,892) = (1,892)^3 - 9 cdot 1,892 + 3 approx 6,756 - 17,028 + 3 = -7,272 :
x4 = 1,892 - (-7,272) cdot 1,892 - 1,073-7,272 - (-5,42) approx 1,892 - (-7,272) cdot 0,819-1,852 approx 1,892 + 7,272 cdot 0,442 = 1,892 + 3,217 = 5,109
Aplicamos a fórmula da secante para :

Passo 9

Verificamos a precisão novamente:
|x4 - x3| = |5,109 - 1,892| = 3,217 > 0,01
Continuamos iterando até que a diferença seja menor que 0,01.

Resposta

Após várias iterações, aplicando o método da secante com precisão , encontramos que o zero da função no intervalo é aproximadamente .

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