Obter a integral:
integral0^2 e^-x+x-1
com h=0,5 e compara com o resultado obtido analiticamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de de 0 a 2. Vamos precisar usar a regra dos trapézios com intervalo para uma aproximação numérica e também resolver a integral de forma analítica para comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral definida. Basicamente, ela calcula a área sob a curva da função entre os limites de integração 0 e 2.

Passo 3

Vamos começar pela solução analítica. Precisamos encontrar a antiderivada de integral (e^-x + x - 1) , dx = -e^-x + x^22 - x + C :
[ -e^-x + x^22 - x ]0^2 = ( -e^-2 + 42 - 2 ) - ( -1 + 0 - 0 )
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
= ( -e^-2 + 2 - 2 ) - (-1) = -e^-2 + 1 approx 1 - 0,1353 = 0,8647
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos para a aproximação numérica usando a regra dos trapézios com Integral approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + f(x4) ] . Isso significa que vamos dividir o intervalo [0, 2] em 4 subintervalos: 0, 0,5, 1, 1,5 e 2.
A fórmula da regra dos trapézios é:
f(0) &= e^0 + 0 - 1 = 1 - 1 = 0 f(0,5) &= e^-0,5 + 0,5 - 1 approx 0,6065 + 0,5 - 1 = 0,1065 f(1) &= e^-1 + 1 - 1 approx 0,3679 + 0 = 0,3679 f(1,5) &= e^-1,5 + 1,5 - 1 approx 0,2231 + 0,5 = 0,7231 f(2) &= e^-2 + 2 - 1 approx 0,1353 + 1 = 1,1353
Calculando Integral approx 0,52 [ 0 + 2(0,1065 + 0,3679 + 0,7231) + 1,1353 ] para cada ponto:
= 0,25 [ 0 + 2(1,1975) + 1,1353 ] = 0,25 times 3,5303 approx 0,8826
Aplicando na fórmula:

Resposta

A integral de de 0 a 2 é aproximadamente 0,8647 analiticamente e 0,8826 pela regra dos trapézios com . Os resultados estão bem próximos, mostrando que a aproximação numérica foi eficaz!

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