Utilizando o Método de Newton ou o Método de Newton Modificado, obtenha a raiz dos seguintes sistemas não lineares:
f) l(x1)^2+x2^2-2=0 e^x1-1+x2^3-2=0, com x^(0)=(1,5 ; 2,0).
Observação. Em todos os casos use como critério de parada que até a 3^circ iteração.

Passo 1

Vamos resolver o sistema não linear usando o Método de Newton. A equação que queremos resolver é:
x1^2 + x2^2 - 2 = 0 e^x1 -1 + x2^3 - 2 = 0
Vamos iniciar com o palpite inicial 1.52.0. O Método de Newton envolve calcular a matriz jacobiana do sistema e iterar para encontrar as raízes. Vamos fazer até a terceira iteração.

Passo 2

Primeira Iteração (k=0):
  1. Calcular F(x^(0)) = (1.5)^2 + (2.0)^2 - 2 e^1.5 -1 + (2.0)^3 - 2 = 2.25 + 4 - 2 e^0.5 + 8 - 2 approx 4.25 1.6487 + 6 = 4.25 7.6487 :
J(x^(0)) = 2x1 & 2x2 e^x1 -1 & 3x2^2 = 3 & 4 e^0.5 & 12 approx 3 & 4 1.6487 & 12
  1. Calcular a Jacobiana 3 & 4 1.6487 & 12 cdot de:
-0.8750.0625
  1. Resolver o sistema x^(1) = 1.52.0 + -0.8750.0625 = 0.6252.0625 :
Resolvendo isso, encontramos .
  1. Atualizar :

Passo 3

Segunda Iteração (k=1):
  1. Calcular F(x^(1)) = (0.625)^2 + (2.0625)^2 - 2 e^0.625 -1 + (2.0625)^3 - 2 approx 0.3906 + 4.2539 - 2 e^-0.375 + 8.7555 - 2 approx 2.6445 0.6873 + 6.7555 = 2.6445 7.4428 :
J(x^(1)) = 2x1 & 2x2 e^x1 -1 & 3x2^2 = 1.25 & 4.125 e^-0.375 & 12.75 approx 1.25 & 4.125 0.6873 & 12.75
  1. Calcular a Jacobiana 1.25 & 4.125 0.6873 & 12.75 cdot de:
-2.00.0
  1. Resolver o sistema x^(2) = 0.6252.0625 + -2.00.0 = -1.3752.0625 :
Resolvendo isso, encontramos .
  1. Atualizar :

Passo 4

Terceira Iteração (k=2):
  1. Calcular F(x^(2)) = (-1.375)^2 + (2.0625)^2 - 2 e^-1.375 -1 + (2.0625)^3 - 2 approx 1.8906 + 4.2539 - 2 e^-2.375 + 8.7555 - 2 approx 4.1445 0.0933 + 6.7555 = 4.1445 6.8488 :
J(x^(2)) = 2x1 & 2x2 e^x1 -1 & 3x2^2 = -2.75 & 4.125 e^-2.375 & 12.75 approx -2.75 & 4.125 0.0933 & 12.75
  1. Calcular a Jacobiana -2.75 & 4.125 0.0933 & 12.75 cdot de:
-1.50.0
  1. Resolver o sistema x^(3) = -1.3752.0625 + -1.50.0 = -2.8752.0625 :
Resolvendo isso, encontramos .
  1. Atualizar :

Resposta

Após três iterações pelo Método de Newton, a aproximação da raiz do sistema é:
x approx -2.8752.0625

Exercícios relacionados