Obter a integral:
com e utilizando a regra de Simpson; compara com o resultado obtido analiticamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral definida usando a Regra de Simpson! O enunciado pede para calcular a integral de no intervalo de 0 a 2, com um tamanho de passo . Além disso, vamos comparar o resultado obtido pela Regra de Simpson com o cálculo analítico dessa integral. Para isso, vamos precisar entender como a Regra de Simpson funciona e como integrar essas funções passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Regra de Simpson. Ela é uma técnica de aproximação para calcular integrais definidas, especialmente útil quando a integral não é fácil de resolver diretamente. A Regra de Simpson usa parabolas para aproximar a área sob a curva.
A fórmula da Regra de Simpson para um intervalo dividido em subintervalos (onde deve ser par) é:
Onde:
  • é o tamanho do passo.
  • , , e para .
No nosso caso:
  • , , e .
  • Vamos dividir o intervalo em subintervalos.
Agora, vamos calcular os pontos e os respectivos :
Agora, calculamos para cada :
Agora, aplicamos a Regra de Simpson:
Substituindo os valores:
Calculando dentro dos colchetes:
Agora, multiplicamos por :

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de forma analítica para comparar. Precisamos integrar de 0 a 2:
Calculando cada parte:
Aplicando os limites de 0 a 2:
Somando tudo:

Passo 4

Comparando os resultados:
  • Regra de Simpson: aproximadamente 0,8649
  • Cálculo Analítico: aproximadamente 0,8647
A diferença é mínima, o que mostra que a Regra de Simpson foi bastante precisa nesse caso!

Resposta

A integral de de 0 a 2 é aproximadamente 0,8649 usando a Regra de Simpson, próximo do valor analítico 0,8647.

Exercícios relacionados

Obter a integral:
com e utilizando a regra de Simpson
A partir do seguinte conjunto de dados com cinco pontos:
x 1 2 4 5 7
y 52 5 -5 -40 10
Determine o polinômio de Newton de quarta ordem que passe pelos cinco pontos, usando a tabela de diferenças divididas. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado .
Resolva as integrais duplas: . Resp.: 4040 .
Utilize coordenadas esféricas para calcular a integral
em que é o sólido limitado acima pelo cone e abaixo pela esfera z. Resp.: