Obter a integral:
integral0^2 e^-x+x-1
com h=0,5 e utilizando a regra de Simpson; compara com o resultado obtido analiticamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral definida usando a Regra de Simpson! O enunciado pede para calcular a integral de no intervalo de 0 a 2, com um tamanho de passo . Além disso, vamos comparar o resultado obtido pela Regra de Simpson com o cálculo analítico dessa integral. Para isso, vamos precisar entender como a Regra de Simpson funciona e como integrar essas funções passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Regra de Simpson. Ela é uma técnica de aproximação para calcular integrais definidas, especialmente útil quando a integral não é fácil de resolver diretamente. A Regra de Simpson usa parabolas para aproximar a área sob a curva.
A fórmula da Regra de Simpson para um intervalo dividido em integrala^b f(x) , dx approx h3 [ f(x0) + 4 sumi=1,3,5,dots^n-1 f(xi) + 2 sumi=2,4,6,dots^n-2 f(xi) + f(xn) ] subintervalos (onde x0 &= 0 x1 &= 0 + 0,5 = 0,5 x2 &= 0,5 + 0,5 = 1,0 x3 &= 1,0 + 0,5 = 1,5 x4 &= 1,5 + 0,5 = 2,0 deve ser par) é:
f(x0) &= e^0 + 0 - 1 = 1 + 0 - 1 = 0 f(x1) &= e^-0,5 + 0,5 - 1 approx 0,6065 + 0,5 - 1 = 0,1065 f(x2) &= e^-1 + 1 - 1 approx 0,3679 + 1 - 1 = 0,3679 f(x3) &= e^-1,5 + 1,5 - 1 approx 0,2231 + 1,5 - 1 = 0,7231 f(x4) &= e^-2 + 2 - 1 approx 0,1353 + 2 - 1 = 1,1353
Onde:
  • integral0^2 f(x) , dx approx 0,53 [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + f(x4)] é o tamanho do passo.
  • approx 0,53 [0 + 4(0,1065) + 2(0,3679) + 4(0,7231) + 1,1353] , 0 + 0,426 + 0,7358 + 2,8924 + 1,1353 = 5,1895 , e 0,53 times 5,1895 approx 0,1667 times 5,1895 approx 0,8649 para .
No nosso caso:
  • , , e .
  • Vamos dividir o intervalo em subintervalos.
Agora, vamos calcular os pontos e os respectivos :
Agora, calculamos para cada :
Agora, aplicamos a Regra de Simpson:
Substituindo os valores:
Calculando dentro dos colchetes:
Agora, multiplicamos por :

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de forma analítica para comparar. Precisamos integrar integral0^2 (e^-x + x - 1) , dx = integral0^2 e^-x , dx + integral0^2 x , dx - integral0^2 1 , dx de 0 a 2:
integral e^-x , dx &= -e^-x + C integral x , dx &= x^22 + C integral 1 , dx &= x + C
Calculando cada parte:
[ -e^-x ]0^2 &= -e^-2 + e^0 = -0,1353 + 1 = 0,8647 [ x^22 ]0^2 &= 42 - 0 = 2 [ x ]0^2 &= 2 - 0 = 2
Aplicando os limites de 0 a 2:
0,8647 + 2 - 2 = 0,8647
Somando tudo:

Passo 4

Comparando os resultados:
  • Regra de Simpson: aproximadamente 0,8649
  • Cálculo Analítico: aproximadamente 0,8647
A diferença é mínima, o que mostra que a Regra de Simpson foi bastante precisa nesse caso!

Resposta

A integral de de 0 a 2 é aproximadamente 0,8649 usando a Regra de Simpson, próximo do valor analítico 0,8647.

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