Obter a integral:
com
e utilizando a regra de Simpson; compara com o resultado obtido analiticamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral definida usando a Regra de Simpson! O enunciado pede para calcular a integral de
no intervalo de 0 a 2, com um tamanho de passo
. Além disso, vamos comparar o resultado obtido pela Regra de Simpson com o cálculo analítico dessa integral. Para isso, vamos precisar entender como a Regra de Simpson funciona e como integrar essas funções passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Regra de Simpson. Ela é uma técnica de aproximação para calcular integrais definidas, especialmente útil quando a integral não é fácil de resolver diretamente. A Regra de Simpson usa parabolas para aproximar a área sob a curva.
A fórmula da Regra de Simpson para um intervalo dividido em
subintervalos (onde
deve ser par) é:
Onde:
-
é o tamanho do passo. -
, , e para .
No nosso caso:
-
, , e . - Vamos dividir o intervalo em
subintervalos.
Agora, vamos calcular os pontos
e os respectivos
:
Agora, calculamos
para cada
:
Agora, aplicamos a Regra de Simpson:
Substituindo os valores:
Calculando dentro dos colchetes:
Agora, multiplicamos por
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de forma analítica para comparar. Precisamos integrar
de 0 a 2:
Calculando cada parte:
Aplicando os limites de 0 a 2:
Somando tudo:
Passo 4
Comparando os resultados:
- Regra de Simpson: aproximadamente 0,8649
- Cálculo Analítico: aproximadamente 0,8647
A diferença é mínima, o que mostra que a Regra de Simpson foi bastante precisa nesse caso!
Resposta
A integral de
de 0 a 2 é aproximadamente 0,8649 usando a Regra de Simpson, próximo do valor analítico 0,8647.
Exercícios relacionados
Obter a integral:
com
e utilizando a regra de Simpson
A partir do seguinte conjunto de dados com cinco pontos:
x | 1 | 2 | 4 | 5 | 7 |
---|---|---|---|---|---|
y | 52 | 5 | -5 | -40 | 10 |
Determine o polinômio de Newton de quarta ordem que passe pelos cinco pontos, usando a tabela de diferenças divididas. Use o polinômio obtido para determinar o valor interpolado
.
Resolva as integrais duplas:
. Resp.: 4040 .
Utilize coordenadas esféricas para calcular a integral
em que
é o sólido limitado acima pelo cone
e abaixo pela esfera
z. Resp.: