Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x^5-2,5 x^4-15,0 x^2=-6,0 x^3--25,0 x+62,5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação do quinto grau: . O conteúdo envolvido aqui inclui álgebra e métodos numéricos para encontrar as raízes da equação com uma precisão de erro menor que . Para isso, vamos precisar reorganizar a equação, identificar possíveis raízes e aplicar métodos como o de Newton-Raphson para refinar os valores das raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar todos os termos na mesma mão da equação para deixá-la igualada a zero. Movendo os termos do lado direito para o esquerdo, temos:
x^5 - 2,5x^4 + 6,0x^3 -15,0x^2 +25,0x -62,5 = 0

Passo 3

Agora, vamos identificar possíveis raízes reais da equação. Uma maneira fácil de começar é testar valores inteiros simples que satisfaçam f(2,5) = (2,5)^5 - 2,5(2,5)^4 + 6(2,5)^3 -15(2,5)^2 +25(2,5) -62,5 . Vamos testar f(2,5) = 97,65625 - 97,65625 + 93,75 - 93,75 + 62,5 -62,5 = 0 :
Calculando:
Então, é uma raiz da equação.

Passo 4

Com uma das raízes identificadas, podemos fatorar a equação usando (x - 2,5)(x^4 + 0x^3 + 6,0x^2 +0x -25) = 0 . Dividindo o polinômio original por usando a divisão sintética ou polinomial, obtemos:
Agora, precisamos resolver a equação .

Passo 5

Para resolver y^2 + 6y -25 = 0 , fazemos uma substituição y = -6 pm raiz6^2 - 4 cdot 1 cdot (-25)2 cdot 1 = -6 pm raiz36 + 1002 = -6 pm raiz1362 , transformando a equação em:
y = -6 pm 11,66192
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
y1 = -6 + 11,66192 = 2,83095
y2 = -6 - 11,66192 = -8,83095
Isso nos dá duas soluções para x = pm raiz2,83095 approx pm 1,6825 :
Como , descartamos a solução negativa , pois não pode ser negativo. Assim, temos:

Resposta

As raízes da equação x approx 2,5 e x approx pm 1,6825 com erro menor que são:

Exercícios relacionados