Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
. Essa questão está dentro da matéria de Equações Transcendentes, que envolve funções que não são polinomiais e geralmente não têm soluções exatas. Para resolver isso, vamos usar métodos numéricos, que nos ajudam a encontrar aproximações das raízes com um erro menor que
. Vamos precisar entender um pouco sobre método da bisseção e método de Newton, que são técnicas para encontrar onde duas funções se cruzam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o gráfico das duas funções envolvidas:
e
. A função
é uma exponencial decrescente, sempre positiva, que se aproxima de zero conforme
aumenta. Já
é uma função periódica que oscila entre -1 e 1. Nosso objetivo é encontrar os valores de
onde essas duas funções se encontram, ou seja, onde
.
Passo 3
Para encontrar essas interseções, vamos usar o método da bisseção. Esse método funciona melhor quando sabemos que existe uma raiz dentro de um intervalo específico e que a função muda de sinal nesse intervalo. Vamos definir uma função
e procurar onde
.
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar um intervalo onde
muda de sinal. Vamos testar alguns valores:
- Para
:
- Para
:
Observamos que entre
e
,
muda de negativo para positivo, indicando que há uma raiz nesse intervalo.
Passo 5
Agora, aplicamos o método da bisseção:
- Escolha os pontos
e . - Calcule o ponto médio
. - Avalie
. - Se
for próximo de zero dentro do erro desejado, paramos. Caso contrário, decidimos em qual subintervalo a raiz está e repetimos o processo.
Repetiremos esses passos até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Passo 6
Vamos ilustrar as primeiras iterações:
-
Iteração 1:
,
Como, a raiz está entre e . Atualizamos . -
Iteração 2:
,
Ainda, atualizamos . -
Iteração 3:
,
Continuamos com.
Esse processo continua até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Passo 7
Após várias iterações (não listadas aqui para brevidade), chegamos a um valor de
que satisfaz
com o erro menor que
. Alternativamente, podemos usar o método de Newton, que pode convergir mais rápido, mas requer a derivada da função.
Passo 8
Usando o método de Newton:
- Definimos
e sua derivada . - Escolhemos uma aproximação inicial, digamos
. - Calculamos
. - Repetimos até que a diferença entre
e seja menor que .
Resposta
Após aplicar os métodos numéricos, a raíz da equação
com erro menor que
é aproximadamente:
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Equação:
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Equação:
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