Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . Essa questão está dentro da matéria de Equações Transcendentes, que envolve funções que não são polinomiais e geralmente não têm soluções exatas. Para resolver isso, vamos usar métodos numéricos, que nos ajudam a encontrar aproximações das raízes com um erro menor que . Vamos precisar entender um pouco sobre método da bisseção e método de Newton, que são técnicas para encontrar onde duas funções se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o gráfico das duas funções envolvidas: e . A função é uma exponencial decrescente, sempre positiva, que se aproxima de zero conforme aumenta. Já é uma função periódica que oscila entre -1 e 1. Nosso objetivo é encontrar os valores de onde essas duas funções se encontram, ou seja, onde .

Passo 3

Para encontrar essas interseções, vamos usar o método da bisseção. Esse método funciona melhor quando sabemos que existe uma raiz dentro de um intervalo específico e que a função muda de sinal nesse intervalo. Vamos definir uma função e procurar onde .

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar um intervalo onde muda de sinal. Vamos testar alguns valores:
  • Para :
  • Para :
Observamos que entre e , muda de negativo para positivo, indicando que há uma raiz nesse intervalo.

Passo 5

Agora, aplicamos o método da bisseção:
  1. Escolha os pontos e .
  2. Calcule o ponto médio .
  3. Avalie .
  4. Se for próximo de zero dentro do erro desejado, paramos. Caso contrário, decidimos em qual subintervalo a raiz está e repetimos o processo.
Repetiremos esses passos até que a diferença entre e seja menor que .

Passo 6

Vamos ilustrar as primeiras iterações:
  • Iteração 1:
    ,


    Como , a raiz está entre e . Atualizamos .
  • Iteração 2:
    ,


    Ainda , atualizamos .
  • Iteração 3:
    ,


    Continuamos com .
Esse processo continua até que a diferença entre e seja menor que .

Passo 7

Após várias iterações (não listadas aqui para brevidade), chegamos a um valor de que satisfaz com o erro menor que . Alternativamente, podemos usar o método de Newton, que pode convergir mais rápido, mas requer a derivada da função.

Passo 8

Usando o método de Newton:
  1. Definimos e sua derivada .
  2. Escolhemos uma aproximação inicial, digamos .
  3. Calculamos .
  4. Repetimos até que a diferença entre e seja menor que .

Resposta

Após aplicar os métodos numéricos, a raíz da equação com erro menor que é aproximadamente:

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