Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x^5+2 x^2=x^3+2 x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação x^5 + 2x^2 = x^3 + 2x -1. O que a gente precisa aqui é encontrar os valores de que fazem essa equação verdadeira, ou seja, as raízes. Para isso, vamos usar métodos numéricos que nos dão uma aproximação com erro menor que . Vamos precisar entender um pouco de polinômios e métodos como Newton-Raphson ou o método da bisseção para chegar nas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para que ela fique igual a zero:
x^5 + 2x^2 - x^3 - 2x + 1 = 0
Agora temos um polinômio de quinto grau. Polinômios de grau elevado geralmente não têm soluções fáceis de achar, então precisamos usar métodos numéricos para encontrar as raízes aproximadas.

Passo 3

Vamos tentar identificar possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os candidatos para raízes racionais são divisores do termo constante (1) divididos pelos divisores do coeficiente líder (1). Então, nossos candidatos são 1^5 + 2(1)^2 - 1^3 - 2(1) + 1 = 1 + 2 - 1 - 2 + 1 = 1 neq 0 .
Testando (-1)^5 + 2(-1)^2 - (-1)^3 - 2(-1) + 1 = -1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 5 neq 0 :
Testando :
Então, não são raízes da equação. Precisamos usar métodos numéricos para encontrar as raízes.

Passo 4

Vamos usar o método de Newton-Raphson. Esse método é uma forma iterativa de aproximar as raízes de uma função. A fórmula é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da nossa função f(x) = x^5 + 2x^2 - x^3 - 2x + 1 :
f'(x) = 5x^4 + 4x - 3x^2 - 2

Passo 5

Escolhemos um palpite inicial próximo de onde a função cruza o eixo x. Observando o gráfico aproximado da função, podemos escolher x1 = 0 - 1-2 = 0.5 . Calculando f(0.5) = (0.5)^5 + 2(0.5)^2 - (0.5)^3 - 2(0.5) + 1 approx 0.03125 + 0.5 - 0.125 - 1 + 1 = 0.40625 e f'(0.5) = 5(0.5)^4 + 4(0.5) - 3(0.5)^2 - 2 approx 0.3125 + 2 - 0.75 - 2 = -0.4375 :
x2 = 0.5 - 0.40625-0.4375 approx 0.5 + 0.92857 = 1.42857
Agora, calculamos e :
Então,
Continuamos esse processo até que a diferença entre e seja menor que .

Passo 6

Após várias iterações do método de Newton-Raphson, convergimos para uma raiz aproximada de . Repetimos o processo para outras possíveis raízes, escolhendo diferentes palpites iniciais para encontrar todas as raízes reais da equação com o erro menor que .

Resposta

As raízes aproximadas da equação com erro menor que são e outras raízes encontradas através dos métodos numéricos aplicados.

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