Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação . O que a gente precisa aqui é encontrar os valores de que fazem essa equação verdadeira, ou seja, as raízes. Para isso, vamos usar métodos numéricos que nos dão uma aproximação com erro menor que . Vamos precisar entender um pouco de polinômios e métodos como Newton-Raphson ou o método da bisseção para chegar nas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para que ela fique igual a zero:
Agora temos um polinômio de quinto grau. Polinômios de grau elevado geralmente não têm soluções fáceis de achar, então precisamos usar métodos numéricos para encontrar as raízes aproximadas.

Passo 3

Vamos tentar identificar possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os candidatos para raízes racionais são divisores do termo constante (1) divididos pelos divisores do coeficiente líder (1). Então, nossos candidatos são .
Testando :
Testando :
Então, não são raízes da equação. Precisamos usar métodos numéricos para encontrar as raízes.

Passo 4

Vamos usar o método de Newton-Raphson. Esse método é uma forma iterativa de aproximar as raízes de uma função. A fórmula é:
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da nossa função :

Passo 5

Escolhemos um palpite inicial próximo de onde a função cruza o eixo x. Observando o gráfico aproximado da função, podemos escolher . Calculando e :
Agora, calculamos e :
Então,
Continuamos esse processo até que a diferença entre e seja menor que .

Passo 6

Após várias iterações do método de Newton-Raphson, convergimos para uma raiz aproximada de . Repetimos o processo para outras possíveis raízes, escolhendo diferentes palpites iniciais para encontrar todas as raízes reais da equação com o erro menor que .

Resposta

As raízes aproximadas da equação com erro menor que são e outras raízes encontradas através dos métodos numéricos aplicados.

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