Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação
. O que a gente precisa aqui é encontrar os valores de
que fazem essa equação verdadeira, ou seja, as raízes. Para isso, vamos usar métodos numéricos que nos dão uma aproximação com erro menor que
. Vamos precisar entender um pouco de polinômios e métodos como Newton-Raphson ou o método da bisseção para chegar nas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para que ela fique igual a zero:
Agora temos um polinômio de quinto grau. Polinômios de grau elevado geralmente não têm soluções fáceis de achar, então precisamos usar métodos numéricos para encontrar as raízes aproximadas.
Passo 3
Vamos tentar identificar possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os candidatos para raízes racionais são divisores do termo constante (1) divididos pelos divisores do coeficiente líder (1). Então, nossos candidatos são
.
Testando
:
Testando
:
Então,
não são raízes da equação. Precisamos usar métodos numéricos para encontrar as raízes.
Passo 4
Vamos usar o método de Newton-Raphson. Esse método é uma forma iterativa de aproximar as raízes de uma função. A fórmula é:
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da nossa função
:
Passo 5
Escolhemos um palpite inicial próximo de onde a função cruza o eixo x. Observando o gráfico aproximado da função, podemos escolher
. Calculando
e
:
Agora, calculamos
e
:
Então,
Continuamos esse processo até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Passo 6
Após várias iterações do método de Newton-Raphson, convergimos para uma raiz aproximada de
. Repetimos o processo para outras possíveis raízes, escolhendo diferentes palpites iniciais para encontrar todas as raízes reais da equação com o erro menor que
.
Resposta
As raízes aproximadas da equação
com erro menor que
são
e outras raízes encontradas através dos métodos numéricos aplicados.
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