Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
. O objetivo aqui é encontrar as raízes dessa equação, ou seja, os valores de
que satisfazem a equação, com um erro menor que
. Para isso, vamos usar alguns métodos matemáticos como o Teorema das Raízes Racionais e o Método de Newton-Raphson.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para que todos os termos fiquem de um lado igual a zero:
Agora, vamos usar o Teorema das Raízes Racionais, que nos ajuda a encontrar possíveis raízes racionais da equação. Esse teorema diz que qualquer raiz racional, escrita na forma
, onde
é um divisor de termo constante e
é um divisor do coeficiente líder.
Passo 3
Observando a equação, o termo constante é 150 e o coeficiente líder é 1. Então, os possíveis valores de
são
. E como
é 1, os possíveis candidatos para as raízes racionais são esses mesmos valores.
Passo 4
Vamos testar alguns desses candidatos substituindo na equação. Vamos começar com
:
Então,
é uma raiz da equação.
Passo 5
Com a raiz encontrada, podemos fatorar
da equação original usando a divisão polinomial ou a síntese de Horner. Isso nos simplifica a equação para um polinômio de quinto grau:
Passo 6
Vamos agora aplicar novamente o Teorema das Raízes Racionais no polinômio de quinto grau
. Os possíveis candidatos continuam sendo os divisores de 75:
.
Passo 7
Testando
:
Então,
é outra raiz.
Passo 8
Fatorando
do polinômio de quinto grau, chegamos a um polinômio de quarto grau:
Passo 9
Agora, vamos aplicar o Método de Newton-Raphson para encontrar as raízes restantes do polinômio de quarto grau
. O Método de Newton-Raphson utiliza a fórmula:
Onde
é o polinômio e
é sua derivada.
Passo 10
Primeiro, calculamos a derivada do polinômio:
Escolhemos uma estimativa inicial próxima às raízes observadas graficamente ou pelos candidatos racionais restantes.
Passo 11
Aplicando iterações do Método de Newton-Raphson para refinar as raízes com a precisão desejada (
), encontramos as seguintes raízes aproximadas:
Resposta
As raízes da equação
, com erro menor que
, são:
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