Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . O objetivo aqui é encontrar as raízes dessa equação, ou seja, os valores de que satisfazem a equação, com um erro menor que . Para isso, vamos usar alguns métodos matemáticos como o Teorema das Raízes Racionais e o Método de Newton-Raphson.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para que todos os termos fiquem de um lado igual a zero:
Agora, vamos usar o Teorema das Raízes Racionais, que nos ajuda a encontrar possíveis raízes racionais da equação. Esse teorema diz que qualquer raiz racional, escrita na forma , onde é um divisor de termo constante e é um divisor do coeficiente líder.

Passo 3

Observando a equação, o termo constante é 150 e o coeficiente líder é 1. Então, os possíveis valores de são . E como é 1, os possíveis candidatos para as raízes racionais são esses mesmos valores.

Passo 4

Vamos testar alguns desses candidatos substituindo na equação. Vamos começar com :
Então, é uma raiz da equação.

Passo 5

Com a raiz encontrada, podemos fatorar da equação original usando a divisão polinomial ou a síntese de Horner. Isso nos simplifica a equação para um polinômio de quinto grau:

Passo 6

Vamos agora aplicar novamente o Teorema das Raízes Racionais no polinômio de quinto grau . Os possíveis candidatos continuam sendo os divisores de 75: .

Passo 7

Testando :
Então, é outra raiz.

Passo 8

Fatorando do polinômio de quinto grau, chegamos a um polinômio de quarto grau:

Passo 9

Agora, vamos aplicar o Método de Newton-Raphson para encontrar as raízes restantes do polinômio de quarto grau . O Método de Newton-Raphson utiliza a fórmula:
Onde é o polinômio e é sua derivada.

Passo 10

Primeiro, calculamos a derivada do polinômio:
Escolhemos uma estimativa inicial próxima às raízes observadas graficamente ou pelos candidatos racionais restantes.

Passo 11

Aplicando iterações do Método de Newton-Raphson para refinar as raízes com a precisão desejada ( ), encontramos as seguintes raízes aproximadas:

Resposta

As raízes da equação , com erro menor que , são:

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