Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x^4-14 x^3+64 x^2=106 x-55

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação do quarto grau: . A gente vai trabalhar com álgebra, especificamente encontrando raízes de polinômios. Para resolver isso, vamos precisar rearranjar a equação, procurar possíveis raízes racionais e, se precisar, usar métodos numéricos como o de Newton-Raphson para encontrar raízes com erro menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos colocar todos os termos de um lado da equação para igualar a zero. Assim, subtraímos x^4 - 14x^3 + 64x^2 - 106x + 55 = 0 e adicionamos em ambos os lados:

Passo 3

Agora, vamos tentar encontrar possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema diz que qualquer raiz racional da equação polinomial é da forma , onde divide o termo independente e divide o coeficiente líder .
No nosso caso, e , então as possíveis raízes racionais são os divisores de 55: , , , .

Passo 4

Vamos testar essas possíveis raízes substituindo na equação. Começando por 1 - 14 + 64 - 106 + 55 = 0 :
1 - 14 = -13; -13 + 64 = 51; 51 - 106 = -55; -55 + 55 = 0
Viu? é uma raiz!

Passo 5

Como x^3 - 13x^2 + 51x - 55 = 0 é uma raiz, podemos fazer a divisão polinomial para fatorar a equação. Dividindo por , obtemos um polinômio de grau 3:

Passo 6

Vamos tentar encontrar outra raiz racional para o polinômio cúbico 125 - 325 + 255 - 55 = 0 . As possíveis raízes são novamente 125 - 325 = -200; -200 + 255 = 55; 55 - 55 = 0 , , , .
Testando :
Então, também é uma raiz.

Passo 7

Agora, dividimos o polinômio cúbico x^2 - 8x + 11 = 0 por , resultando em um polinômio quadrático:

Passo 8

Para resolver o quadrático x = 8 pm raiz64 - 442 = 8 pm raiz202 = 8 pm 2raiz52 = 4 pm raiz5 , vamos usar a fórmula de Bhaskara:

Resposta

As raízes da equação x = 1, x = 5, x = 4 + raiz5, x = 4 - raiz5 são:

Exercícios relacionados