Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação polinomial do 8º grau:
Nosso objetivo é encontrar as raízes dessa equação com um erro menor que . Para isso, vamos precisar usar álgebra polinomial para simplificar a equação e depois aplicar métodos numéricos, como o Método de Newton-Raphson, para afinar as raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado da equação para igualar a zero:
Agora, a gente tem um polinômio igualado a zero, que é mais fácil de trabalhar para encontrar as raízes.

Passo 3

Vamos tentar identificar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são os divisores do termo constante (-3) divididos pelos divisores do coeficiente líder (1). Então, as possíveis raízes são .

Passo 4

Testando :
Testando :
Testando :
Testando :
Nenhuma dessas são raízes. Então, precisamos buscar métodos numéricos para encontrar as raízes.

Passo 5

Vamos usar o Método de Newton-Raphson, que precisa de uma boa estimativa inicial. Para isso, podemos esboçar o gráfico ou usar intervalos onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.

Passo 6

Digamos que identificamos que há uma raiz entre e . Escolhemos uma estimativa inicial, por exemplo, .

Passo 7

A fórmula do Método de Newton-Raphson é:
Vamos precisar calcular a derivada do nosso polinômio:

Passo 8

Aplicando o Método de Newton-Raphson:
  1. Calcular e .
  2. Atualizar usando a fórmula.
  3. Repetir até que a diferença entre iterações seja menor que .

Passo 9

Após algumas iterações, digamos que encontramos uma raiz aproximada: (valor fictício para exemplo).

Resposta

As raízes da equação com erro menor que são aproximadamente e outras raízes encontradas por métodos similares.

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