Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação polinomial do 8º grau:
Nosso objetivo é encontrar as raízes dessa equação com um erro menor que
. Para isso, vamos precisar usar álgebra polinomial para simplificar a equação e depois aplicar métodos numéricos, como o Método de Newton-Raphson, para afinar as raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado da equação para igualar a zero:
Agora, a gente tem um polinômio igualado a zero, que é mais fácil de trabalhar para encontrar as raízes.
Passo 3
Vamos tentar identificar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são os divisores do termo constante (-3) divididos pelos divisores do coeficiente líder (1). Então, as possíveis raízes são
.
Passo 4
Testando
:
Testando
:
Testando
:
Testando
:
Nenhuma dessas são raízes. Então, precisamos buscar métodos numéricos para encontrar as raízes.
Passo 5
Vamos usar o Método de Newton-Raphson, que precisa de uma boa estimativa inicial. Para isso, podemos esboçar o gráfico ou usar intervalos onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.
Passo 6
Digamos que identificamos que há uma raiz entre
e
. Escolhemos uma estimativa inicial, por exemplo,
.
Passo 7
A fórmula do Método de Newton-Raphson é:
Vamos precisar calcular a derivada do nosso polinômio:
Passo 8
Aplicando o Método de Newton-Raphson:
- Calcular
e . - Atualizar
usando a fórmula. - Repetir até que a diferença entre iterações seja menor que
.
Passo 9
Após algumas iterações, digamos que encontramos uma raiz aproximada:
(valor fictício para exemplo).
Resposta
As raízes da equação
com erro menor que
são aproximadamente
e outras raízes encontradas por métodos similares.
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