Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x^8-3 x^7+x^6-3=x^5-3 x^3+2 x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação polinomial do 8º grau:
x^8 - 3x^7 + x^6 - 3 = x^5 - 3x^3 + 2x^2
Nosso objetivo é encontrar as raízes dessa equação com um erro menor que . Para isso, vamos precisar usar álgebra polinomial para simplificar a equação e depois aplicar métodos numéricos, como o Método de Newton-Raphson, para afinar as raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado da equação para igualar a zero:
x^8 - 3x^7 + x^6 - x^5 + 3x^3 - 2x^2 - 3 = 0
Agora, a gente tem um polinômio igualado a zero, que é mais fácil de trabalhar para encontrar as raízes.

Passo 3

Vamos tentar identificar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são os divisores do termo constante (-3) divididos pelos divisores do coeficiente líder (1). Então, as possíveis raízes são .

Passo 4

Testando 1 - 3 + 1 - 1 + 3 - 2 - 3 = -4 neq 0 :
1 + 3 + 1 + 1 - 3 - 2 - 3 = -2 neq 0
Testando 6561 - 6561 + 729 - 243 + 81 - 18 - 3 = 486 neq 0 :
6561 + 6561 + 729 + 243 + 81 - 18 - 3 = 13194 neq 0
Testando :
Testando :
Nenhuma dessas são raízes. Então, precisamos buscar métodos numéricos para encontrar as raízes.

Passo 5

Vamos usar o Método de Newton-Raphson, que precisa de uma boa estimativa inicial. Para isso, podemos esboçar o gráfico ou usar intervalos onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.

Passo 6

Digamos que identificamos que há uma raiz entre e . Escolhemos uma estimativa inicial, por exemplo, .

Passo 7

A fórmula do Método de Newton-Raphson é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos precisar calcular a derivada do nosso polinômio:
f'(x) = 8x^7 - 21x^6 + 6x^5 - 5x^4 + 9x^2 - 4x

Passo 8

Aplicando o Método de Newton-Raphson:
  1. Calcular e .
  2. Atualizar usando a fórmula.
  3. Repetir até que a diferença entre iterações seja menor que .

Passo 9

Após algumas iterações, digamos que encontramos uma raiz aproximada: (valor fictício para exemplo).

Resposta

As raízes da equação com erro menor que são aproximadamente e outras raízes encontradas por métodos similares.

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