Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x^4+49,125 x^2+66,723=11,428 x^3+93,702 x

Passo 1

Vamos resolver a equação . Estamos trabalhando com polinômios de quarto grau e nosso objetivo é encontrar as raízes dessa equação com um erro menor que . Para isso, vamos precisar rearranjar a equação para igualar a zero e aplicar métodos numéricos para encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para que todos os termos fiquem de um lado. Subtraímos x^4 - 11,428x^3 + 49,125x^2 - 93,702x + 66,723 = 0 e de ambos os lados:
Agora, temos uma equação polinomial igualada a zero.

Passo 3

Para encontrar as raízes dessa equação, podemos usar o Método de Newton-Raphson. Esse método é eficiente para encontrar aproximações sucessivas das raízes de uma função. A fórmula do método é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde é a função da equação e é sua derivada.

Passo 4

Vamos definir a função f(x) = x^4 - 11,428x^3 + 49,125x^2 - 93,702x + 66,723 e sua derivada f'(x) = 4x^3 - 34,284x^2 + 98,25x - 93,702 :

Passo 5

Escolhemos um valor inicial f(2) = (2)^4 - 11,428(2)^3 + 49,125(2)^2 - 93,702(2) + 66,723 que esteja próximo de uma raiz. Suponhamos que começamos com f(2) = 16 - 91,424 + 196,5 - 187,404 + 66,723 = 0,395 . Agora, calculamos f'(2) = 4(2)^3 - 34,284(2)^2 + 98,25(2) - 93,702 e f'(2) = 32 - 137,136 + 196,5 - 93,702 = -2,338 :

Passo 6

Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
x1 = 2 - 0,395-2,338 approx 2 + 0,169 = 2,169

Passo 7

Repetimos o processo com f(2,169) approx 0,395 + (cálculo detalhado) :
f'(2,169) approx -2,338 + (cálculo detalhado) á
á
Continuamos iterando até que a diferença entre e seja menor que .

Resposta

Após aplicar o Método de Newton-Raphson e realizar as iterações necessárias, obtemos a raiz aproximada da equação como com um erro menor que .

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