Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: e^-x+e^x-3=0

Passo 1

Então, galera! A gente tem uma equação pra resolver: . O objetivo é encontrar os valores de que satisfazem essa equação, com uma precisão de erro menor que . Para isso, vamos usar métodos numéricos, que são técnicas para encontrar soluções aproximadas de equações quando métodos algébricos são complicados ou impossíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação: 1e^x + e^x - 3 = 0 . Podemos reescrever 1 + e^2x - 3e^x = 0 como e^2x - 3e^x + 1 = 0 , então a equação fica:
Para simplificar, vamos multiplicar todos os termos por para eliminar a fração:
Isso nos dá uma nova equação:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos chamar y^2 - 3y + 1 = 0 . Então, . Substituindo na equação:
Essa é uma equação quadrática em termos de , que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 4

A fórmula de Bhaskara para resolver y = -b pm raizb^2 - 4ac2a é:
y = 3 pm raiz9 - 42 = 3 pm raiz52
No nosso caso, y1 = 3 + raiz52 e y2 = 3 - raiz52 , , e . Substituindo esses valores:
Então, temos duas soluções para :

Passo 5

Lembrando que x = ln(y) , podemos agora encontrar x1 = ln(3 + raiz52) e x2 = ln(3 - raiz52) tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Então, as soluções para serão:

Passo 6

Vamos calcular esses valores:
Para x1 = ln(3 + raiz52) approx ln(2.6180) approx 0.9624 :
x2 = ln(3 - raiz52) approx ln(0.381966) approx -0.9624
Para :

Passo 7

Então, as raízes da equação x approx 0.9624 e x approx -0.9624 , com um erro menor que , são aproximadamente:

Resposta

As raízes da equação são aproximadamente e , com um erro menor que .

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