Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Beleza, então temos a equação . Nosso objetivo é encontrar as raízes dessa equação, ou seja, os valores de que satisfazem a igualdade, com uma precisão de erro menor que . Para resolver isso, vamos usar métodos numéricos, como o método da bisseção, Newton-Raphson ou o método da secante.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que cada parte da equação representa. é a função exponencial decrescente, é um polinômio de segundo grau, e é o logaritmo do quadrado de . Vamos rearranjar a equação para deixá-la igual a zero:

Passo 3

Agora, para aplicar os métodos numéricos, precisamos encontrar um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, onde e têm sinais opostos. Isso indica que há pelo menos uma raiz nesse intervalo devido ao Teorema de Bolzano.

Passo 4

Vamos calcular para alguns valores de para identificar um intervalo adequado:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Observamos que e . Como há uma mudança de sinal entre e , sabemos que existe uma raiz nesse intervalo.

Passo 5

Vamos aplicar o Método da Bisseção para encontrar a raiz nesse intervalo . O método da bisseção funciona dividindo o intervalo ao meio repetidamente e selecionando o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal, até que a largura do intervalo seja menor que a precisão desejada ( ).
  1. Calcular o ponto médio .
  2. Avaliar .
  3. Se e têm sinais opostos, a raiz está em , então definimos .
  4. Caso contrário, a raiz está em , então definimos .
  5. Repetir até que .

Passo 6

Vamos ilustrar as primeiras iterações:
  • Iteração 1:
    • ,
    • Como , a raiz está em
  • Iteração 2:
    • ,
    • Como , a raiz está em
Continuamos esse processo até que a diferença entre e seja menor que .

Resposta

Após aplicar o Método da Bisseção, a raiz da equação com erro menor que é aproximadamente .

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