Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, então temos a equação
. Nosso objetivo é encontrar as raízes dessa equação, ou seja, os valores de
que satisfazem a igualdade, com uma precisão de erro menor que
. Para resolver isso, vamos usar métodos numéricos, como o método da bisseção, Newton-Raphson ou o método da secante.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que cada parte da equação representa.
é a função exponencial decrescente,
é um polinômio de segundo grau, e
é o logaritmo do quadrado de
. Vamos rearranjar a equação para deixá-la igual a zero:
Passo 3
Agora, para aplicar os métodos numéricos, precisamos encontrar um intervalo onde a função
muda de sinal, ou seja, onde
e
têm sinais opostos. Isso indica que há pelo menos uma raiz nesse intervalo devido ao Teorema de Bolzano.
Passo 4
Vamos calcular
para alguns valores de
para identificar um intervalo adequado:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Observamos que
e
. Como há uma mudança de sinal entre
e
, sabemos que existe uma raiz nesse intervalo.
Passo 5
Vamos aplicar o Método da Bisseção para encontrar a raiz nesse intervalo
. O método da bisseção funciona dividindo o intervalo ao meio repetidamente e selecionando o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal, até que a largura do intervalo seja menor que a precisão desejada (
).
- Calcular o ponto médio
. - Avaliar
. - Se
e têm sinais opostos, a raiz está em , então definimos . - Caso contrário, a raiz está em
, então definimos . - Repetir até que
.
Passo 6
Vamos ilustrar as primeiras iterações:
-
Iteração 1:
-
, -
-
- Como
, a raiz está em
-
-
Iteração 2:
-
, -
-
- Como
, a raiz está em
-
Continuamos esse processo até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Resposta
Após aplicar o Método da Bisseção, a raiz da equação
com erro menor que
é aproximadamente
.
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Equação:
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Localizar graficamente as raízes reais das equações.
Equação:
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