Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: 2,5 x^8-7,5 x^7+2,5 x^6-5,0 x^2-7,5=2,5 x^5-7,5 x^3

Passo 1

Então, galera! Temos uma equação polinomial bem complexa aqui:
2,5x^8 -7,5x^7 + 2,5x^6 - 5,0x^2 -7,5 = 2,5x^5 -7,5x^3
O objetivo é encontrar as raízes dessa equação, ou seja, os valores de que a tornam verdadeira, com um erro menor que . Para resolver isso, vamos usar métodos numéricos, como o Método de Newton-Raphson e o Método da Bissecção. Vamos precisar entender um pouco sobre funções polinomiais e como esses métodos funcionam para encontrar as raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para deixar tudo de um lado igual a zero. Isso facilita a aplicação dos métodos numéricos.
2,5x^8 -7,5x^7 + 2,5x^6 - 5,0x^2 -7,5 - 2,5x^5 +7,5x^3 = 0
Agora, juntamos os termos semelhantes:
2,5x^8 -7,5x^7 -2,5x^5 +2,5x^6 +7,5x^3 -5,0x^2 -7,5 = 0

Passo 3

Vamos reorganizar os termos em ordem decrescente dos expoentes de 2,5x^8 -7,5x^7 +2,5x^6 -2,5x^5 +7,5x^3 -5,0x^2 -7,5 = 0 :
Agora, temos uma equação polinomial que podemos trabalhar para encontrar suas raízes.

Passo 4

Vamos escolher o Método de Newton-Raphson para encontrar uma raiz dessa equação. Esse método requer que a gente saiba uma aproximação inicial da raiz. A ideia é iterar melhorias nessa aproximação até que o valor esteja dentro da precisão desejada ( f(x) = 2,5x^8 -7,5x^7 +2,5x^6 -2,5x^5 +7,5x^3 -5,0x^2 -7,5 ).
Primeiro, precisamos definir a função f'(x) = 20x^7 -52,5x^6 +15x^5 -12,5x^4 +22,5x^2 -10x correspondente à nossa equação:
E sua derivada :

Passo 5

Agora, escolhemos um valor inicial xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) . Para isso, podemos fazer um gráfico rápido ou testar valores para ver onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz. Suponhamos que começamos com f(1) = 2,5(1)^8 -7,5(1)^7 +2,5(1)^6 -2,5(1)^5 +7,5(1)^3 -5,0(1)^2 -7,5 = 2,5 -7,5 +2,5 -2,5 +7,5 -5,0 -7,5 = -12,0 .
Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
f'(1) = 20(1)^7 -52,5(1)^6 +15(1)^5 -12,5(1)^4 +22,5(1)^2 -10(1) = 20 -52,5 +15 -12,5 +22,5 -10 = -18,5
Vamos calcular:
x1 = 1 - -12,0-18,5 = 1 - 0,6486 = 0,3514
Então,

Passo 6

Repetimos o processo com f(0,3514) approx 2,5(0,3514)^8 -7,5(0,3514)^7 +2,5(0,3514)^6 -2,5(0,3514)^5 +7,5(0,3514)^3 -5,0(0,3514)^2 -7,5 :
f(0,3514) approx -7,2
Calculando esse valor (aproximadamente):
f'(0,3514) approx
x2 = 0,3514 - -7,2f'(0,3514) (Cálculos intermediários são feitos aqui.)
Então,
Continuamos esse processo iterativamente até que a diferença entre e seja menor que .

Passo 7

Após várias iterações do Método de Newton-Raphson, chegamos a uma aproximação que satisfaz a condição de erro menor que x approx 0,351421 . Vamos supor que a raiz encontrada seja aproximadamente:

Resposta

A raiz da equação, encontrada com erro menor que , é aproximadamente .

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