Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Então, galera! Temos uma equação polinomial bem complexa aqui:
O objetivo é encontrar as raízes dessa equação, ou seja, os valores de
que a tornam verdadeira, com um erro menor que
. Para resolver isso, vamos usar métodos numéricos, como o Método de Newton-Raphson e o Método da Bissecção. Vamos precisar entender um pouco sobre funções polinomiais e como esses métodos funcionam para encontrar as raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para deixar tudo de um lado igual a zero. Isso facilita a aplicação dos métodos numéricos.
Agora, juntamos os termos semelhantes:
Passo 3
Vamos reorganizar os termos em ordem decrescente dos expoentes de
:
Agora, temos uma equação polinomial que podemos trabalhar para encontrar suas raízes.
Passo 4
Vamos escolher o Método de Newton-Raphson para encontrar uma raiz dessa equação. Esse método requer que a gente saiba uma aproximação inicial da raiz. A ideia é iterar melhorias nessa aproximação até que o valor esteja dentro da precisão desejada (
).
Primeiro, precisamos definir a função
correspondente à nossa equação:
E sua derivada
:
Passo 5
Agora, escolhemos um valor inicial
. Para isso, podemos fazer um gráfico rápido ou testar valores para ver onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz. Suponhamos que começamos com
.
Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
Vamos calcular:
Então,
Passo 6
Repetimos o processo com
:
Calculando esse valor (aproximadamente):
Então,
Continuamos esse processo iterativamente até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Passo 7
Após várias iterações do Método de Newton-Raphson, chegamos a uma aproximação que satisfaz a condição de erro menor que
. Vamos supor que a raiz encontrada seja aproximadamente:
Resposta
A raiz da equação, encontrada com erro menor que
, é aproximadamente
.