Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Então, temos o desafio de encontrar as raízes da equação , garantindo que o erro na solução seja menor que . Para resolver isso, vamos usar métodos numéricos, que são técnicas matemáticas que nos ajudam a encontrar soluções aproximadas para equações que são difíceis de resolver de forma exata. Precisaremos entender um pouco sobre funções hiperbólicas e logaritmos, além de aplicar métodos como o de Newton-Raphson para chegar à resposta com a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções envolvidas:
  • Função Seno Hiperbólico ( ): É definida por . É uma função ímpar, o que significa que .
  • Função Logaritmo Natural ( ): É definida apenas para e é a inversa da função exponencial.
Nossa equação é . Vamos notar que, para a equação fazer sentido, deve ser positivo, já que o logaritmo natural só está definido para valores positivos de . Mas, pode ser positivo ou negativo dependendo de . Precisamos encontrar valores de que satisfaçam a equação.

Passo 3

Vamos aplicar o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para encontrar aproximações sucessivas de raízes de uma função. A fórmula geral é:
Onde:
Queremos encontrar tal que .

Passo 4

Escolhemos um ponto inicial próximo da raiz. Observando as funções:
  • Para próximo a 0, e tende a , mas como deve ser positivo, começamos com um valor pequeno, por exemplo, .
Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
  1. Calcular e .
  2. Atualizar usando a fórmula.
  3. Repetir até que a diferença entre iterações seja menor que .

Passo 5

Vamos realizar as iterações:
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Iteração 5:
Continuamos esse processo até que a diferença entre e seja menor que .

Resposta

Após aplicar o Método de Newton-Raphson e realizar as iterações necessárias, a raiz da equação com um erro menor que é aproximadamente:

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