Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Então, temos o desafio de encontrar as raízes da equação
, garantindo que o erro na solução seja menor que
. Para resolver isso, vamos usar métodos numéricos, que são técnicas matemáticas que nos ajudam a encontrar soluções aproximadas para equações que são difíceis de resolver de forma exata. Precisaremos entender um pouco sobre funções hiperbólicas e logaritmos, além de aplicar métodos como o de Newton-Raphson para chegar à resposta com a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções envolvidas:
-
Função Seno Hiperbólico (
): É definida por . É uma função ímpar, o que significa que . -
Função Logaritmo Natural (
): É definida apenas para e é a inversa da função exponencial.
Nossa equação é
. Vamos notar que, para a equação fazer sentido,
deve ser positivo, já que o logaritmo natural só está definido para valores positivos de
. Mas,
pode ser positivo ou negativo dependendo de
. Precisamos encontrar valores de
que satisfaçam a equação.
Passo 3
Vamos aplicar o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para encontrar aproximações sucessivas de raízes de uma função. A fórmula geral é:
Onde:
Queremos encontrar
tal que
.
Passo 4
Escolhemos um ponto inicial próximo da raiz. Observando as funções:
- Para
próximo a 0, e tende a , mas como deve ser positivo, começamos com um valor pequeno, por exemplo, .
Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
- Calcular
e . - Atualizar
usando a fórmula. - Repetir até que a diferença entre iterações seja menor que
.
Passo 5
Vamos realizar as iterações:
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Iteração 5:
Continuamos esse processo até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Resposta
Após aplicar o Método de Newton-Raphson e realizar as iterações necessárias, a raiz da equação
com um erro menor que
é aproximadamente:
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Equação:
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Localizar graficamente as raízes reais das equações.
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