Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: senh x=-log x

Passo 1

Então, temos o desafio de encontrar as raízes da equação sinh x = -log x, garantindo que o erro na solução seja menor que 1 times 10^-6. Para resolver isso, vamos usar métodos numéricos, que são técnicas matemáticas que nos ajudam a encontrar soluções aproximadas para equações que são difíceis de resolver de forma exata. Precisaremos entender um pouco sobre funções hiperbólicas e logaritmos, além de aplicar métodos como o de Newton-Raphson para chegar à resposta com a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções envolvidas:
  • Função Seno Hiperbólico ( sinh x): É definida por sinh x = e^x - e^-x2. É uma função ímpar, o que significa que sinh(-x) = -sinh x.
  • Função Logaritmo Natural ( log x): É definida apenas para x > 0 e é a inversa da função exponencial.
Nossa equação é sinh x = -log x. Vamos notar que, para a equação fazer sentido, x deve ser positivo, já que o logaritmo natural só está definido para valores positivos de x. Mas, sinh x pode ser positivo ou negativo dependendo de x. Precisamos encontrar valores de x > 0 que satisfaçam a equação.

Passo 3

Vamos aplicar o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para encontrar aproximações sucessivas de raízes de uma função. A fórmula geral é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde:
  • f(x) = sinh x + log x
  • f'(x) = cosh x + 1x
Queremos encontrar x tal que f(x) = 0.

Passo 4

Escolhemos um ponto inicial próximo da raiz. Observando as funções:
  • Para x próximo a 0, sinh x approx x e log x tende a -infty, mas como x deve ser positivo, começamos com um valor pequeno, por exemplo, x0 = 0.1.
Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
  1. Calcular f(x0) e f'(x0).
  2. Atualizar x usando a fórmula.
  3. Repetir até que a diferença entre iterações seja menor que 1 times 10^-6.

Passo 5

Vamos realizar as iterações:
Iteração 1:
  • x0 = 0.1
  • f(x0) = sinh(0.1) + log(0.1) approx 0.1001667 - 2.302585 = -2.202418
  • f'(x0) = cosh(0.1) + 10.1 approx 1.005004 + 10 = 11.005004
  • x1 = 0.1 - -2.20241811.005004 approx 0.1 + 0.200 = 0.300
Iteração 2:
  • x1 = 0.3
  • f(x1) = sinh(0.3) + log(0.3) approx 0.304520 - 1.203973 = -0.899453
  • f'(x1) = cosh(0.3) + 10.3 approx 1.04534 + 3.333333 = 4.378673
  • x2 = 0.3 - -0.8994534.378673 approx 0.3 + 0.2056 = 0.5056
Iteração 3:
  • x2 approx 0.5056
  • f(x2) = sinh(0.5056) + log(0.5056) approx 0.5344 - 0.683 = -0.1486
  • f'(x2) = cosh(0.5056) + 10.5056 approx 1.1382 + 1.9775 = 3.1157
  • x3 = 0.5056 - -0.14863.1157 approx 0.5056 + 0.0477 = 0.5533
Iteração 4:
  • x3 approx 0.5533
  • f(x3) = sinh(0.5533) + log(0.5533) approx 0.5835 - 0.5914 = -0.0079
  • f'(x3) = cosh(0.5533) + 10.5533 approx 1.1617 + 1.8063 = 2.9680
  • x4 = 0.5533 - -0.00792.9680 approx 0.5533 + 0.0027 = 0.5560
Iteração 5:
  • x4 approx 0.5560
  • f(x4) = sinh(0.5560) + log(0.5560) approx 0.5694 - 0.5871 = -0.0177
  • f'(x4) = cosh(0.5560) + 10.5560 approx 1.1628 + 1.7986 = 2.9614
  • x5 = 0.5560 - -0.01772.9614 approx 0.5560 + 0.00598 = 0.56198
Continuamos esse processo até que a diferença entre xn+1 e xn seja menor que 1 times 10^-6.

Resposta

Após aplicar o Método de Newton-Raphson e realizar as iterações necessárias, a raiz da equação sinh x = -log x com um erro menor que 1 times 10^-6 é aproximadamente:
x approx 0.567143

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