Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação
. O que a gente precisa aqui é encontrar o valor de
que satisfaz essa igualdade, ou seja, as raízes da equação. Vamos usar métodos numéricos para encontrar essa raiz com um erro menor que
. Para isso, vamos explorar alguns métodos como o Método da Bissecção e o Método de Newton-Raphson.
Passo 2
Vamos começar entendendo a equação
. Essa é uma equação transcendental porque envolve uma variável tanto no expoente quanto de forma linear. Para resolver isso, vamos rearranjar a equação para que ela fique no formato
. Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Agora, precisamos encontrar o valor de
que faz
.
Passo 3
Vamos usar o Método da Bissecção para encontrar a raiz dessa função. Esse método requer que a função mude de sinal em um intervalo
, ou seja,
. Primeiro, precisamos encontrar um intervalo onde isso ocorra.
Vamos testar alguns valores:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Parece que todos os valores testados dão
. Vamos tentar valores maiores:
- Para
:
Ainda positivo. Vamos tentar um número muito grande:
- Para
:
Ainda positivo. Parece que precisamos de outra abordagem.
Passo 4
Como o Método da Bissecção não está funcionando aqui, vamos tentar o Método de Newton-Raphson. Esse método é mais eficiente e requer o cálculo da derivada da função.
A função é:
Sua derivada é:
Agora, a fórmula do Método de Newton-Raphson é:
Precisamos de uma estimativa inicial
. Vamos tentar
.
Passo 5
Vamos calcular
e
:
Para
:
Agora, aplicando a fórmula:
Passo 6
Vamos verificar
:
Como
mudou de sinal, precisamos ajustar nossa estimativa inicial. Vamos tentar
.
Passo 7
Para
:
Agora:
Passo 8
Vamos calcular
:
Aplicando novamente:
Passo 9
Parece que estamos oscilando. Vamos tentar outro método: Gráfico. Vamos plotar as funções
e
e ver onde elas se interceptam.
Ao plotar, observamos que as duas curvas se interceptam em aproximadamente
. Vamos refinar essa estimativa.
Passo 10
Vamos tentar
:
Ainda positivo. Vamos tentar
:
Ainda positivo. Parece que a única solução real ocorre quando
tende a
, o que não é prático. Portanto, a equação
não possui raízes reais finitas.
Resposta
A equação
não possui raízes reais finitas.
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