Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x=10^-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação . O que a gente precisa aqui é encontrar o valor de que satisfaz essa igualdade, ou seja, as raízes da equação. Vamos usar métodos numéricos para encontrar essa raiz com um erro menor que . Para isso, vamos explorar alguns métodos como o Método da Bissecção e o Método de Newton-Raphson.

Passo 2

Vamos começar entendendo a equação f(x) = x + 10^-x = 0 . Essa é uma equação transcendental porque envolve uma variável tanto no expoente quanto de forma linear. Para resolver isso, vamos rearranjar a equação para que ela fique no formato . Subtraindo de ambos os lados, temos:
Agora, precisamos encontrar o valor de que faz .

Passo 3

Vamos usar o Método da Bissecção para encontrar a raiz dessa função. Esse método requer que a função mude de sinal em um intervalo f(0) = 0 + 10^0 = 1 , ou seja, f(1) = 1 + 10^-1 = 1 + 0,1 = 1,1 . Primeiro, precisamos encontrar um intervalo onde isso ocorra.
Vamos testar alguns valores:
  • Para f(-1) = -1 + 10^1 = -1 + 10 = 9 :
f(2) = 2 + 10^-2 = 2 + 0,01 = 2,01
  • Para f(100) = 100 + 10^-100 approx 100 :
  • Para :
Parece que todos os valores testados dão . Vamos tentar valores maiores:
  • Para :
Ainda positivo. Vamos tentar um número muito grande:
  • Para :
Ainda positivo. Parece que precisamos de outra abordagem.

Passo 4

Como o Método da Bissecção não está funcionando aqui, vamos tentar o Método de Newton-Raphson. Esse método é mais eficiente e requer o cálculo da derivada da função.
A função é:
f(x) = x + 10^-x
Sua derivada é:
f'(x) = 1 - ln(10) cdot 10^-x
Agora, a fórmula do Método de Newton-Raphson é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Precisamos de uma estimativa inicial . Vamos tentar .

Passo 5

Vamos calcular f(0,5) = 0,5 + 10^-0,5 approx 0,5 + 0,3162 = 0,8162 e f'(0,5) = 1 - ln(10) cdot 10^-0,5 approx 1 - 2,3026 cdot 0,3162 approx 1 - 0,728 approx 0,272 :
Para x1 = 0,5 - 0,81620,272 approx 0,5 - 3,0 approx -2,5 :
Agora, aplicando a fórmula:

Passo 6

Vamos verificar f(-2,5) = -2,5 + 10^2,5 approx -2,5 + 316,2278 = 313,7278 :
Como mudou de sinal, precisamos ajustar nossa estimativa inicial. Vamos tentar .

Passo 7

Para f(0,1) = 0,1 + 10^-0,1 approx 0,1 + 0,7943 = 0,8943 :
f'(0,1) = 1 - ln(10) cdot 10^-0,1 approx 1 - 2,3026 cdot 0,7943 approx 1 - 1,829 = -0,829
x1 = 0,1 - 0,8943-0,829 approx 0,1 + 1,078 approx 1,178
Agora:

Passo 8

Vamos calcular f(1,178) = 1,178 + 10^-1,178 approx 1,178 + 0,0662 = 1,2442 :
f'(1,178) = 1 - ln(10) cdot 10^-1,178 approx 1 - 2,3026 cdot 0,0662 approx 1 - 0,152 = 0,848
x2 = 1,178 - 1,24420,848 approx 1,178 - 1,467 = -0,289
Aplicando novamente:

Passo 9

Parece que estamos oscilando. Vamos tentar outro método: Gráfico. Vamos plotar as funções e e ver onde elas se interceptam.
Ao plotar, observamos que as duas curvas se interceptam em aproximadamente . Vamos refinar essa estimativa.

Passo 10

Vamos tentar f(0) = 0 + 10^0 = 1 :
f(-0,1) = -0,1 + 10^0,1 approx -0,1 + 1,2589 = 1,1589
Ainda positivo. Vamos tentar :
Ainda positivo. Parece que a única solução real ocorre quando tende a , o que não é prático. Portanto, a equação não possui raízes reais finitas.

Resposta

A equação não possui raízes reais finitas.

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