Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as raízes da equação
com um erro menor que
. Isso significa que queremos descobrir quais valores de
fazem essa equação ser verdadeira, usando métodos numéricos. Para resolver isso, vamos usar alguns métodos como a bisseção e o Método de Newton-Raphson, que são ferramentas legais para resolver equações quando não conseguimos achar uma solução exata facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a equação
. Podemos reescrever isso como uma função:
Estamos procurando os valores de
onde
. Para visualizar melhor, vamos pensar em como essa função se comporta. Sabemos que
é uma função crescente para
, e
também é crescente. Precisamos encontrar onde essas duas funções se cruzam.
Passo 3
Vamos começar com o Método da Bisseção. Esse método requer que escolhamos um intervalo
onde a função muda de sinal, ou seja,
e
têm sinais opostos. Vamos testar alguns valores:
-
Para
: -
Para
:
Como
e
, sabemos que há pelo menos uma raiz entre
e
.
Passo 4
Agora, aplicamos a Bisseção. Vamos dividir o intervalo
ao meio e verificar o sinal da função no ponto médio.
-
Ponto médio:Como
, a raiz está entre e . -
Novo ponto médio:Ainda negativo, então a raiz está entre
e . -
Continuamos esse processo até a diferença entre os limites ser menor que
.
Após várias iterações, encontramos que a raiz está aproximadamente em
.
Passo 5
Agora vamos usar o Método de Newton-Raphson para refinar nossa aproximação. Esse método usa a derivada da função para encontrar uma raiz mais rapidamente.
A derivada de
é:
Vamos escolher um chute inicial próximo à nossa estimativa anterior, digamos
.
A fórmula do Método de Newton-Raphson é:
Calculando:
Como o valor já está muito próximo, não precisamos de mais iterações. A raiz está aproximadamente em
.
Resposta
A raiz da equação
com erro menor que
é aproximadamente
.
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Localizar graficamente as raízes reais das equações.
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