Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as raízes da equação com um erro menor que . Isso significa que queremos descobrir quais valores de fazem essa equação ser verdadeira, usando métodos numéricos. Para resolver isso, vamos usar alguns métodos como a bisseção e o Método de Newton-Raphson, que são ferramentas legais para resolver equações quando não conseguimos achar uma solução exata facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a equação . Podemos reescrever isso como uma função:
Estamos procurando os valores de onde . Para visualizar melhor, vamos pensar em como essa função se comporta. Sabemos que é uma função crescente para , e também é crescente. Precisamos encontrar onde essas duas funções se cruzam.

Passo 3

Vamos começar com o Método da Bisseção. Esse método requer que escolhamos um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, e têm sinais opostos. Vamos testar alguns valores:
  • Para :
  • Para :
Como e , sabemos que há pelo menos uma raiz entre e .

Passo 4

Agora, aplicamos a Bisseção. Vamos dividir o intervalo ao meio e verificar o sinal da função no ponto médio.
  1. Ponto médio:
    Como , a raiz está entre e .
  2. Novo ponto médio:
    Ainda negativo, então a raiz está entre e .
  3. Continuamos esse processo até a diferença entre os limites ser menor que .
Após várias iterações, encontramos que a raiz está aproximadamente em .

Passo 5

Agora vamos usar o Método de Newton-Raphson para refinar nossa aproximação. Esse método usa a derivada da função para encontrar uma raiz mais rapidamente.
A derivada de é:
Vamos escolher um chute inicial próximo à nossa estimativa anterior, digamos .
A fórmula do Método de Newton-Raphson é:
Calculando:
ááó
Como o valor já está muito próximo, não precisamos de mais iterações. A raiz está aproximadamente em .

Resposta

A raiz da equação com erro menor que é aproximadamente .

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