Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x^pi=5 x+10

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as raízes da equação com um erro menor que . Isso significa que queremos descobrir quais valores de fazem essa equação ser verdadeira, usando métodos numéricos. Para resolver isso, vamos usar alguns métodos como a bisseção e o Método de Newton-Raphson, que são ferramentas legais para resolver equações quando não conseguimos achar uma solução exata facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a equação f(x) = x^pi - 5x - 10 . Podemos reescrever isso como uma função:
Estamos procurando os valores de onde . Para visualizar melhor, vamos pensar em como essa função se comporta. Sabemos que é uma função crescente para , e também é crescente. Precisamos encontrar onde essas duas funções se cruzam.

Passo 3

Vamos começar com o Método da Bisseção. Esse método requer que escolhamos um intervalo f(2) = 2^pi - 5 times 2 - 10 approx 8.82498 - 10 - 10 = -11.17502 onde a função muda de sinal, ou seja, f(3) = 3^pi - 5 times 3 - 10 approx 31.54428 - 15 - 10 = 6.54428 e têm sinais opostos. Vamos testar alguns valores:
  • Para :
  • Para :
Como e , sabemos que há pelo menos uma raiz entre e .

Passo 4

Agora, aplicamos a Bisseção. Vamos dividir o intervalo f(2.5) = 2.5^pi - 5 times 2.5 - 10 approx 15.5885 - 12.5 - 10 = -6.9115 ao meio e verificar o sinal da função no ponto médio.
  1. Ponto médio: f(2.75) = 2.75^pi - 5 times 2.75 - 10 approx 23.201 - 13.75 - 10 = -0.549
    Como , a raiz está entre e .
  2. Novo ponto médio:
    Ainda negativo, então a raiz está entre e .
  3. Continuamos esse processo até a diferença entre os limites ser menor que .
Após várias iterações, encontramos que a raiz está aproximadamente em .

Passo 5

Agora vamos usar o Método de Newton-Raphson para refinar nossa aproximação. Esse método usa a derivada da função para encontrar uma raiz mais rapidamente.
A derivada de f'(x) = pi x^pi - 1 - 5 é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos escolher um chute inicial próximo à nossa estimativa anterior, digamos f(2.754) approx 0 (já está próximo de zero) .
A fórmula do Método de Newton-Raphson é:
f'(2.754) = pi times 2.754^pi - 1 - 5 approx 6.858 - 5 = 1.858
Calculando:
x1 = 2.754 - 01.858 = 2.754 ááó
Como o valor já está muito próximo, não precisamos de mais iterações. A raiz está aproximadamente em .

Resposta

A raiz da equação com erro menor que é aproximadamente .

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