Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
. Nosso objetivo é encontrar os valores de
que satisfazem essa igualdade, ou seja, as raízes da equação. Isso está dentro da área de Equações Não Lineares na Matemática, e para resolver, vamos usar métodos numéricos, que nos ajudam a encontrar aproximações das raízes com um erro menor que
. Vamos precisar entender e aplicar métodos como o Método da Bissecção e o Método de Newton-Raphson.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a aplicação dos métodos numéricos. Queremos expressar a equação na forma
. Então, subtraímos
de ambos os lados:
Agora, precisamos encontrar os valores de
que tornam
.
Passo 3
Vamos identificar intervalos nos quais as raízes podem estar localizadas. Para isso, vamos avaliar
em alguns pontos:
- Para
:
- Para
:
Como
e
, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz no intervalo
.
Passo 4
Vamos aplicar o Método da Bissecção no intervalo
.
O método da bissecção funciona dividindo o intervalo em duas partes iguais e verificando em qual subintervalo a mudança de sinal ocorre, ou seja, onde
.
Primeira Iteração:
-
, -
, - Calcula-se o ponto médio:
-
Como
e
, a raiz está no intervalo
.
Passo 5
Segunda Iteração:
-
, -
, - Ponto médio:
-
Agora,
e
, então a raiz está no intervalo
.
Passo 6
Continuamos o processo até que a largura do intervalo seja menor que
.
Depois de várias iterações da bissecção, convergimos para uma aproximação da raiz em
. Porém, para maior precisão, vamos utilizar o Método de Newton-Raphson.
Passo 7
Para aplicar o Método de Newton-Raphson, precisamos da derivada de
.
Usando a regra do produto:
Então:
Passo 8
Escolhemos uma aproximação inicial, digamos
.
Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Calculando
e
:
Então:
Passo 9
Repetimos o processo com
:
Então:
Passo 10
Continuamos iterando até que a diferença entre
e
seja menor que
. Após algumas iterações, convergimos para:
Resposta
A raiz da equação
com erro menor que
é
.
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