Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: e^-3 x(2 x+2)=4 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . Nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfazem essa igualdade, ou seja, as raízes da equação. Isso está dentro da área de Equações Não Lineares na Matemática, e para resolver, vamos usar métodos numéricos, que nos ajudam a encontrar aproximações das raízes com um erro menor que . Vamos precisar entender e aplicar métodos como o Método da Bissecção e o Método de Newton-Raphson.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a aplicação dos métodos numéricos. Queremos expressar a equação na forma f(x) = e^-3x(2x + 2) - 4x^2 = 0 . Então, subtraímos de ambos os lados:
Agora, precisamos encontrar os valores de que tornam .

Passo 3

Vamos identificar intervalos nos quais as raízes podem estar localizadas. Para isso, vamos avaliar f(0) = e^0(0 + 2) - 0 = 2 > 0 em alguns pontos:
  • Para f(1) = e^-3(2 + 2) - 4 = e^-3 times 4 - 4 approx 0.0498 times 4 - 4 approx 0.199 - 4 = -3.801 < 0 :
  • Para :
Como e , pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz no intervalo .

Passo 4

Vamos aplicar o Método da Bissecção no intervalo .
O método da bissecção funciona dividindo o intervalo em duas partes iguais e verificando em qual subintervalo a mudança de sinal ocorre, ou seja, onde .
Primeira Iteração:
  • ,
  • ,
  • Calcula-se o ponto médio:
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 5

Segunda Iteração:
  • ,
  • ,
  • Ponto médio:
Agora, e , então a raiz está no intervalo .

Passo 6

Continuamos o processo até que a largura do intervalo seja menor que .
Depois de várias iterações da bissecção, convergimos para uma aproximação da raiz em . Porém, para maior precisão, vamos utilizar o Método de Newton-Raphson.

Passo 7

Para aplicar o Método de Newton-Raphson, precisamos da derivada de f(x) = e^-3x(2x + 2) - 4x^2 .
f'(x) = ddx[e^-3x(2x + 2)] - 8x
f'(x) = e^-3x times (2) + (2x + 2) times (-3e^-3x) - 8x = e^-3x(2 - 3(2x + 2)) - 8x = e^-3x(-6x - 4) - 8x
Usando a regra do produto:
f'(x) = -e^-3x(6x + 4) - 8x
Então:

Passo 8

Escolhemos uma aproximação inicial, digamos xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) .
Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
f(0.438) approx e^-1.314(0.876 + 2) - 4 times 0.438^2 approx 0.269 times 2.876 - 0.766 approx 0.773 - 0.766 = 0.007
Calculando f'(0.438) approx -e^-1.314(6 times 0.438 + 4) - 8 times 0.438 approx -0.269 times (2.628 + 4) - 3.504 approx -0.269 times 6.628 - 3.504 approx -1.785 - 3.504 = -5.289 e x1 = 0.438 - 0.007-5.289 approx 0.438 + 0.0013 = 0.4393 :
Então:

Passo 9

Repetimos o processo com f(0.4393) approx e^-1.3179(0.8786 + 2) - 4 times 0.4393^2 approx 0.267 times 2.8786 - 0.772 approx 0.769 - 0.772 = -0.003 :
f'(0.4393) approx -e^-1.3179(6 times 0.4393 + 4) - 8 times 0.4393 approx -0.267 times (2.636 + 4) - 3.514 = -0.267 times 6.636 - 3.514 approx -1.772 - 3.514 = -5.286
x2 = 0.4393 - -0.003-5.286 approx 0.4393 - 0.00057 = 0.4387
Então:

Passo 10

Continuamos iterando até que a diferença entre e seja menor que . Após algumas iterações, convergimos para:

Resposta

A raiz da equação com erro menor que é .

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