Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . Nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfazem essa igualdade, ou seja, as raízes da equação. Isso está dentro da área de Equações Não Lineares na Matemática, e para resolver, vamos usar métodos numéricos, que nos ajudam a encontrar aproximações das raízes com um erro menor que . Vamos precisar entender e aplicar métodos como o Método da Bissecção e o Método de Newton-Raphson.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a aplicação dos métodos numéricos. Queremos expressar a equação na forma . Então, subtraímos de ambos os lados:
Agora, precisamos encontrar os valores de que tornam .

Passo 3

Vamos identificar intervalos nos quais as raízes podem estar localizadas. Para isso, vamos avaliar em alguns pontos:
  • Para :
  • Para :
Como e , pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz no intervalo .

Passo 4

Vamos aplicar o Método da Bissecção no intervalo .
O método da bissecção funciona dividindo o intervalo em duas partes iguais e verificando em qual subintervalo a mudança de sinal ocorre, ou seja, onde .
Primeira Iteração:
  • ,
  • ,
  • Calcula-se o ponto médio:
Como e , a raiz está no intervalo .

Passo 5

Segunda Iteração:
  • ,
  • ,
  • Ponto médio:
Agora, e , então a raiz está no intervalo .

Passo 6

Continuamos o processo até que a largura do intervalo seja menor que .
Depois de várias iterações da bissecção, convergimos para uma aproximação da raiz em . Porém, para maior precisão, vamos utilizar o Método de Newton-Raphson.

Passo 7

Para aplicar o Método de Newton-Raphson, precisamos da derivada de .
Usando a regra do produto:
Então:

Passo 8

Escolhemos uma aproximação inicial, digamos .
Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Calculando e :
Então:

Passo 9

Repetimos o processo com :
Então:

Passo 10

Continuamos iterando até que a diferença entre e seja menor que . Após algumas iterações, convergimos para:

Resposta

A raiz da equação com erro menor que é .

Exercícios relacionados

Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:
Localizar graficamente as raízes reais das equações.
Equação:
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação: