Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x^5+(5 / 3) x^3=-(5 / 2) x^4+(1 / 6) x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A gente tem que encontrar as raízes da equação . Isso faz parte do conteúdo de Equações Polinomiais e Métodos Numéricos para encontrar raízes com precisão. Vamos precisar usar métodos como o Método de Newton-Raphson ou Bissecção para chegar a uma solução com erro menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para igualar a zero. Vamos trazer todos os termos para um lado:
x^5 + 53x^3 + 52x^4 - 16x = 0
Agora, vamos colocar os termos em ordem decrescente de potência:
x^5 + 52x^4 + 53x^3 - 16x = 0

Passo 3

Vamos fatorar o mínimo possível para simplificar. Podemos fatorar um x(x^4 + 52x^3 + 53x^2 - 16) = 0 de todos os termos:
Isso nos mostra que uma das raízes é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as raízes da equação quartica xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) . Equações de quarto grau são complicadas para resolver analiticamente, então vamos usar métodos numéricos.
Vamos aplicar o Método de Newton-Raphson, que é um método iterativo para encontrar aproximações das raízes de uma função. A fórmula é:
Onde e é a derivada de .

Passo 5

Calculando a derivada de f'(x) = 4x^3 + 152x^2 + 103x :
Agora, escolhemos um valor inicial próximo da raiz que queremos encontrar. Suponha que escolhemos .

Passo 6

Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
x1 = x0 - f(x0)f'(x0)
Calculando f(0.5) = (0.5)^4 + 52(0.5)^3 + 53(0.5)^2 - 16 approx 0.0625 + 0.3125 + 0.4167 - 0.1667 = 0.625 :
f'(0.5) = 4(0.5)^3 + 152(0.5)^2 + 103(0.5) approx 0.5 + 1.875 + 1.6667 = 4.0417
Calculando x1 = 0.5 - 0.6254.0417 approx 0.5 - 0.1545 = 0.3455 :
Então:

Passo 7

Repetimos o processo até que a diferença entre x2 = 0.3455 - f(0.3455)f'(0.3455) approx 0.3455 - 0.005 = 0.3405 e x3 = 0.3405 - f(0.3405)f'(0.3405) approx 0.3405 - 0.000005 = 0.340495 seja menor que . Continuando as iterações:
Agora, a diferença entre e é menor que , então paramos.

Resposta

A raiz da equação com erro menor que é .

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