Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A gente tem que encontrar as raízes da equação . Isso faz parte do conteúdo de Equações Polinomiais e Métodos Numéricos para encontrar raízes com precisão. Vamos precisar usar métodos como o Método de Newton-Raphson ou Bissecção para chegar a uma solução com erro menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para igualar a zero. Vamos trazer todos os termos para um lado:
Agora, vamos colocar os termos em ordem decrescente de potência:

Passo 3

Vamos fatorar o mínimo possível para simplificar. Podemos fatorar um de todos os termos:
Isso nos mostra que uma das raízes é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as raízes da equação quartica . Equações de quarto grau são complicadas para resolver analiticamente, então vamos usar métodos numéricos.
Vamos aplicar o Método de Newton-Raphson, que é um método iterativo para encontrar aproximações das raízes de uma função. A fórmula é:
Onde e é a derivada de .

Passo 5

Calculando a derivada de :
Agora, escolhemos um valor inicial próximo da raiz que queremos encontrar. Suponha que escolhemos .

Passo 6

Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
Calculando :
Calculando :
Então:

Passo 7

Repetimos o processo até que a diferença entre e seja menor que . Continuando as iterações:
Agora, a diferença entre e é menor que , então paramos.

Resposta

A raiz da equação com erro menor que é .

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