Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A gente tem que encontrar as raízes da equação
. Isso faz parte do conteúdo de Equações Polinomiais e Métodos Numéricos para encontrar raízes com precisão. Vamos precisar usar métodos como o Método de Newton-Raphson ou Bissecção para chegar a uma solução com erro menor que
.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para igualar a zero. Vamos trazer todos os termos para um lado:
Agora, vamos colocar os termos em ordem decrescente de potência:
Passo 3
Vamos fatorar o mínimo possível para simplificar. Podemos fatorar um
de todos os termos:
Isso nos mostra que uma das raízes é
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as raízes da equação quartica
. Equações de quarto grau são complicadas para resolver analiticamente, então vamos usar métodos numéricos.
Vamos aplicar o Método de Newton-Raphson, que é um método iterativo para encontrar aproximações das raízes de uma função. A fórmula é:
Onde
e
é a derivada de
.
Passo 5
Calculando a derivada de
:
Agora, escolhemos um valor inicial
próximo da raiz que queremos encontrar. Suponha que escolhemos
.
Passo 6
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
Calculando
:
Calculando
:
Então:
Passo 7
Repetimos o processo até que a diferença entre
e
seja menor que
. Continuando as iterações:
Agora, a diferença entre
e
é menor que
, então paramos.
Resposta
A raiz da equação
com erro menor que
é
.
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