A partir da expansão em série
cos (x)=1-x^22+x^44!-x^66!+cdots
calcule o erro absoluto ao se realizar o truncamento dos 5 primeiros termos com arredondamento truncado na terceira casa decimal

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a série de Taylor da função cosseno:
cos (x) = 1 - x^22 + x^44! - x^66! + cdots
O objetivo aqui é calcular o erro absoluto quando a gente para a série nos 5 primeiros termos e faz o arredondamento truncado na terceira casa decimal. Para isso, vamos precisar entender como funciona a aproximação de séries e como calcular o erro nesse processo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando truncamos uma série de Taylor, a diferença entre o valor real da função e a aproximação que usamos é chamada de erro absoluto. Esse erro pode ser estimado usando o próximo termo da série que foi descartado.
No caso do cosseno, a série alternada que estamos usando tem termos que vão diminuindo em magnitude conforme aumentamos a potência de . Isso facilita a estimação do erro.

Passo 3

Como queremos truncar nos 5 primeiros termos, vamos identificar quais são eles na série:
Após o quinto termo, o próximo termo que não usamos é o de índice 6, que é .

Passo 4

Para calcular o erro absoluto, usamos o valor absoluto do próximo termo não incluído na aproximação. Então, o erro E = | -x^1010! | = x^1010! será:

Passo 5

Agora, precisamos arredondar esse erro para a terceira casa decimal. Basta calcular o valor numérico de para um valor específico de e truncar na terceira casa decimal.

Resposta

O erro absoluto ao truncar a série após os 5 primeiros termos é , arredondado truncado na terceira casa decimal.

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