calcule o erro absoluto ao se realizar o truncamento dos 5 primeiros termos com arredondamento truncado na terceira casa decimal
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a série de Taylor da função cosseno:
O objetivo aqui é calcular o erro absoluto quando a gente para a série nos 5 primeiros termos e faz o arredondamento truncado na terceira casa decimal. Para isso, vamos precisar entender como funciona a aproximação de séries e como calcular o erro nesse processo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando truncamos uma série de Taylor, a diferença entre o valor real da função e a aproximação que usamos é chamada de erro absoluto. Esse erro pode ser estimado usando o próximo termo da série que foi descartado.
No caso do cosseno, a série alternada que estamos usando tem termos que vão diminuindo em magnitude conforme aumentamos a potência de . Isso facilita a estimação do erro.
Passo 3
Como queremos truncar nos 5 primeiros termos, vamos identificar quais são eles na série:
Após o quinto termo, o próximo termo que não usamos é o de índice 6, que é .
Passo 4
Para calcular o erro absoluto, usamos o valor absoluto do próximo termo não incluído na aproximação. Então, o erro será:
Passo 5
Agora, precisamos arredondar esse erro para a terceira casa decimal. Basta calcular o valor numérico de para um valor específico de e truncar na terceira casa decimal.
Resposta
O erro absoluto ao truncar a série após os 5 primeiros termos é , arredondado truncado na terceira casa decimal.