A partir da expansão em série
e^-x=1-x+x^22-x^33!+cdots
calcule o erro absoluto ao se realizar o truncamento dos 5 primeiros termos com arredondamento simétrico na terceira casa decimal

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a série de expansão de e^-x = 1 - x + x^22 - x^33! + cdots :
O conteúdo envolvido aqui é séries de Taylor e erro de truncamento. A questão quer saber qual é o erro absoluto quando a gente para a série nos 5 primeiros termos e arredonda o resultado até a terceira casa decimal. Para resolver isso, vamos precisar identificar o próximo termo da série após o quinto termo e usar ele para estimar o erro.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os 5 primeiros termos da série:
  1. S5 = 1 - x + x^22 - x^36 + x^424
Então, a soma dos 5 primeiros termos é:

Passo 3

Agora, para encontrar o erro absoluto ao truncar a série depois desses 5 termos, precisamos olhar para o próximo termo da série, que é o terceiro termo não incluído. Esse termo será usado para estimar o erro.
O próximo termo após -x^55! = -x^5120 é:

Passo 4

O erro absoluto |E| = | -x^5120 | = |x^5|120 ao truncar a série após o quinto termo é, na verdade, a magnitude do próximo termo da série. Então temos:
Isso significa que o erro absoluto dependerá do valor de que estamos considerando.

Passo 5

Por fim, como a questão pede para arredondar o erro absoluto na terceira casa decimal, vamos expressar o erro de forma arredondada:
|E| approx x^5120 , (arredondado até a terceira casa decimal) é

Resposta

O erro absoluto ao truncar a série após os 5 primeiros termos é aproximadamente , arredondado simetricamente na terceira casa decimal.

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