Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x-5=cos 2 x

Passo 1

Vamos resolver a equação para encontrar seus valores de que satisfazem essa igualdade. Vamos utilizar métodos numéricos, como o de Newton-Raphson e iteração simples, para aproximar as raízes com um erro menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma f(x) = x - 5 - cos(2x) . Assim, temos:
Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz .

Passo 3

Vamos aplicar o método de Newton-Raphson. Esse método usa a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Precisamos calcular a derivada de f'(x) = 1 + 2sin(2x) :

Passo 4

Escolhemos uma estimativa inicial para . Observando a equação, quando , é aproximadamente , então . Vamos usar como nosso ponto de partida.

Passo 5

Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
x1 = 5 - 5 - 5 - cos(10)1 + 2sin(10)
Calculando os valores:
x1 = 5 - 0.8391 + 2 times -0.544 approx 5 - 0.8390.912 approx 5.919

Passo 6

Repetimos o processo com x2 = 5.919 - 5.919 - 5 - cos(2 times 5.919)1 + 2sin(2 times 5.919) :
Continuamos iterando até que a diferença entre e seja menor que .

Passo 7

Após várias iterações, convergimos para a raiz aproximada:
x approx 5.769

Resposta

A raiz da equação com erro menor que é aproximadamente .

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