Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O enunciado pede para encontrar as raízes da equação com um erro menor que . Isso envolve trabalhar com polinômios e usar métodos numéricos para encontrar as soluções onde a equação iguala a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar a equação para que tudo fique de um lado e igualado a zero. Isso facilita a aplicação dos métodos de resolução.

Passo 3

Vamos organizar os termos em ordem decrescente do grau de :
Agora, temos a equação polinomial padrão:

Passo 4

Para encontrar as raízes dessa equação polinomial de quarto grau, usaremos o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para aproximar as soluções de uma equação.

Passo 5

Antes de aplicar o Método de Newton-Raphson, precisamos definir a função e sua derivada. Vamos chamar nossa equação de :
A derivada de , que precisamos para o método, é:

Passo 6

Agora, escolhemos um palpite inicial . Observando a função, vamos tentar valores para encontrar uma aproximação inicial. Por exemplo, vamos testar :
Como e queremos que , vamos tentar outro valor, digamos :
Ainda positivo. Vamos tentar :
Ainda positivo. Parece que estamos longe de uma raiz negativa. Vamos tentar positivo, por exemplo, :
Ainda positivo. Talvez a raíz esteja entre -0.5 e 0.

Passo 7

Vamos tentar :
Agora, temos . Percebemos que e . Então, existe pelo menos uma raiz entre e .

Passo 8

Vamos usar o Método de Newton-Raphson com .
A fórmula do Método de Newton-Raphson é:
Calculando e :
Então,

Passo 9

Iteração 2 com :

Passo 10

Iteração 3 com :

Passo 11

Podemos notar que as iterações estão oscilando sem convergir rapidamente. Para melhorar, podemos usar outro método ou uma melhor escolha de palpite inicial. Vamos tentar o Método da Bisseção entre e .

Passo 12

Método da Bisseção:
  1. Intervalo inicial:
  2. Ponto médio:
  3. Calculamos :
Como e , a raiz está entre e .

Passo 13

Subdividindo o intervalo:
  1. Novo intervalo:
  2. Ponto médio:
  3. Calculamos :
Como e , a raiz está entre e .

Passo 14

Continuando o Método da Bisseção:
  1. Intervalo:
  2. Ponto médio:
  3. Calculamos :
Como e , a raiz está entre e .

Passo 15

Repetimos o processo até alcançarmos a precisão desejada ( ):
Após várias iterações do Método da Bisseção, chegamos a uma aproximação da raiz em torno de . Refinando mais, concluímos que uma das raízes está aproximadamente em:

Resposta

As raízes aproximadas da equação com erro menor que são aproximadamente:

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