Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O enunciado pede para encontrar as raízes da equação
com um erro menor que
. Isso envolve trabalhar com polinômios e usar métodos numéricos para encontrar as soluções onde a equação iguala a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos arrumar a equação para que tudo fique de um lado e igualado a zero. Isso facilita a aplicação dos métodos de resolução.
Passo 3
Vamos organizar os termos em ordem decrescente do grau de
:
Agora, temos a equação polinomial padrão:
Passo 4
Para encontrar as raízes dessa equação polinomial de quarto grau, usaremos o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para aproximar as soluções de uma equação.
Passo 5
Antes de aplicar o Método de Newton-Raphson, precisamos definir a função e sua derivada. Vamos chamar nossa equação de
:
A derivada de
, que precisamos para o método, é:
Passo 6
Agora, escolhemos um palpite inicial
. Observando a função, vamos tentar valores para encontrar uma aproximação inicial. Por exemplo, vamos testar
:
Como
e queremos que
, vamos tentar outro valor, digamos
:
Ainda positivo. Vamos tentar
:
Ainda positivo. Parece que estamos longe de uma raiz negativa. Vamos tentar positivo, por exemplo,
:
Ainda positivo. Talvez a raíz esteja entre -0.5 e 0.
Passo 7
Vamos tentar
:
Agora, temos
. Percebemos que
e
. Então, existe pelo menos uma raiz entre
e
.
Passo 8
Vamos usar o Método de Newton-Raphson com
.
A fórmula do Método de Newton-Raphson é:
Calculando
e
:
Então,
Passo 9
Iteração 2 com
:
Passo 10
Iteração 3 com
:
Passo 11
Podemos notar que as iterações estão oscilando sem convergir rapidamente. Para melhorar, podemos usar outro método ou uma melhor escolha de palpite inicial. Vamos tentar o Método da Bisseção entre
e
.
Passo 12
Método da Bisseção:
- Intervalo inicial:
- Ponto médio:
- Calculamos
:
Como
e
, a raiz está entre
e
.
Passo 13
Subdividindo o intervalo:
- Novo intervalo:
- Ponto médio:
- Calculamos
:
Como
e
, a raiz está entre
e
.
Passo 14
Continuando o Método da Bisseção:
- Intervalo:
- Ponto médio:
- Calculamos
:
Como
e
, a raiz está entre
e
.
Passo 15
Repetimos o processo até alcançarmos a precisão desejada (
):
Após várias iterações do Método da Bisseção, chegamos a uma aproximação da raiz em torno de
. Refinando mais, concluímos que uma das raízes está aproximadamente em:
Resposta
As raízes aproximadas da equação
com erro menor que
são aproximadamente:
Exercícios relacionados
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação: