Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: 5 x^4+4 x=2 x^2-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O enunciado pede para encontrar as raízes da equação com um erro menor que . Isso envolve trabalhar com polinômios e usar métodos numéricos para encontrar as soluções onde a equação iguala a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar a equação para que tudo fique de um lado e igualado a zero. Isso facilita a aplicação dos métodos de resolução.
5x^4 + 4x - 2x^2 + 2 = 0

Passo 3

Vamos organizar os termos em ordem decrescente do grau de 5x^4 - 2x^2 + 4x + 2 = 0 :
5x^4 - 2x^2 + 4x + 2 = 0
Agora, temos a equação polinomial padrão:

Passo 4

Para encontrar as raízes dessa equação polinomial de quarto grau, usaremos o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para aproximar as soluções de uma equação.

Passo 5

Antes de aplicar o Método de Newton-Raphson, precisamos definir a função e sua derivada. Vamos chamar nossa equação de f(x) = 5x^4 - 2x^2 + 4x + 2 :
f'(x) = 20x^3 - 4x + 4
A derivada de , que precisamos para o método, é:

Passo 6

Agora, escolhemos um palpite inicial f(0) = 5(0)^4 - 2(0)^2 + 4(0) + 2 = 2 . Observando a função, vamos tentar valores para encontrar uma aproximação inicial. Por exemplo, vamos testar f(-1) = 5(-1)^4 - 2(-1)^2 + 4(-1) + 2 = 5 - 2 - 4 + 2 = 1 :
f(-2) = 5(-2)^4 - 2(-2)^2 + 4(-2) + 2 = 5(16) - 2(4) - 8 + 2 = 80 - 8 - 8 + 2 = 66
Como f(1) = 5(1)^4 - 2(1)^2 + 4(1) + 2 = 5 - 2 + 4 + 2 = 9 e queremos que , vamos tentar outro valor, digamos :
Ainda positivo. Vamos tentar :
Ainda positivo. Parece que estamos longe de uma raiz negativa. Vamos tentar positivo, por exemplo, :
Ainda positivo. Talvez a raíz esteja entre -0.5 e 0.

Passo 7

Vamos tentar f(-0.5) = 5(-0.5)^4 - 2(-0.5)^2 + 4(-0.5) + 2 = 5(0.0625) - 2(0.25) - 2 + 2 = 0.3125 - 0.5 - 2 + 2 = -0.1875 :
Agora, temos . Percebemos que e . Então, existe pelo menos uma raiz entre e .

Passo 8

Vamos usar o Método de Newton-Raphson com xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) .
A fórmula do Método de Newton-Raphson é:
f(-0.5) = -0.1875
Calculando f'(-0.5) = 20(-0.5)^3 - 4(-0.5) + 4 = 20(-0.125) + 2 + 4 = -2.5 + 6 = 3.5 e x1 = -0.5 - -0.18753.5 = -0.5 + 0.0535714286 = -0.4464285714 :
Então,

Passo 9

Iteração 2 com f(-0.4464285714) = 5(-0.4464285714)^4 - 2(-0.4464285714)^2 + 4(-0.4464285714) + 2 approx 5(0.0396) - 2(0.1993) - 1.7857 + 2 approx 0.198 - 0.3986 - 1.7857 + 2 approx -0.9863 :
f'(-0.4464285714) = 20(-0.4464285714)^3 - 4(-0.4464285714) + 4 approx 20(-0.0889) + 1.7857 + 4 approx -1.778 + 5.7857 approx 4.0077
x2 = -0.4464285714 - -0.98634.0077 approx -0.4464 + 0.2463 = -0.2001

Passo 10

Iteração 3 com f(-0.2001) = 5(-0.2001)^4 - 2(-0.2001)^2 + 4(-0.2001) + 2 approx 5(0.0016) - 2(0.0400) - 0.8004 + 2 approx 0.008 - 0.0800 - 0.8004 + 2 approx 1.1276 :
f'(-0.2001) = 20(-0.2001)^3 - 4(-0.2001) + 4 approx 20(-0.0080) + 0.8004 + 4 approx -0.1600 + 4.8004 approx 4.6404
x3 = -0.2001 - 1.12764.6404 approx -0.2001 - 0.2431 = -0.4432

Passo 11

Podemos notar que as iterações estão oscilando sem convergir rapidamente. Para melhorar, podemos usar outro método ou uma melhor escolha de palpite inicial. Vamos tentar o Método da Bisseção entre e .

Passo 12

Método da Bisseção:
  1. Intervalo inicial: f(-0.25) = 5(-0.25)^4 - 2(-0.25)^2 + 4(-0.25) + 2 = 5(0.00390625) - 2(0.0625) - 1 + 2 = 0.0195 - 0.125 - 1 + 2 = 0.8945
  2. Ponto médio:
  3. Calculamos :
Como e , a raiz está entre e .

Passo 13

Subdividindo o intervalo:
  1. Novo intervalo: f(-0.375) = 5(-0.375)^4 - 2(-0.375)^2 + 4(-0.375) + 2 approx 5(0.0198) - 2(0.1406) - 1.5 + 2 = 0.099 - 0.28125 - 1.5 + 2 approx 0.31775
  2. Ponto médio:
  3. Calculamos :
Como e , a raiz está entre e .

Passo 14

Continuando o Método da Bisseção:
  1. Intervalo: f(-0.4375) = 5(-0.4375)^4 - 2(-0.4375)^2 + 4(-0.4375) + 2 approx 5(0.0363) - 2(0.1914) - 1.75 + 2 = 0.1815 - 0.3828 - 1.75 + 2 approx -0.9513
  2. Ponto médio:
  3. Calculamos :
Como e , a raiz está entre e .

Passo 15

Repetimos o processo até alcançarmos a precisão desejada ( x approx -0.4 ):
Após várias iterações do Método da Bisseção, chegamos a uma aproximação da raiz em torno de . Refinando mais, concluímos que uma das raízes está aproximadamente em:

Resposta

As raízes aproximadas da equação x approx -0.4 com erro menor que são aproximadamente:

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