Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x^4+46 x^2=12 x^3+60 x-25

Passo 1

Vamos entender o que precisamos fazer aqui. Temos uma equação polinomial de quarto grau:
x^4 + 46x^2 = 12x^3 + 60x - 25
Nosso objetivo é encontrar as raízes dessa equação, ou seja, os valores de que satisfazem essa igualdade, com um erro menor que . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra sobre polinômios e métodos para encontrar raízes de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para que tudo fique de um lado igualado a zero. Isso facilita na hora de aplicar os métodos para encontrar as raízes.
x^4 + 46x^2 - 12x^3 - 60x + 25 = 0
Reordenando os termos por ordem decrescente dos graus:
x^4 - 12x^3 + 46x^2 - 60x + 25 = 0

Passo 3

Agora, vamos tentar fatorar essa equação para encontrar algumas raízes de forma mais simples. Uma forma de fatorar polinômios é testar possíveis raízes racionais que são divisores do termo constante (nesse caso, 25).
Vamos testar 1^4 - 12 times 1^3 + 46 times 1^2 - 60 times 1 + 25 = 1 - 12 + 46 - 60 + 25 = 0:
Então, é uma raiz. Isso significa que é um fator do polinômio.

Passo 4

Vamos dividir o polinômio original por (x - 1)(x^3 - 11x^2 + 35x - 25) = 0 para encontrar os outros fatores. Podemos usar a divisão polinomial ou o método de síntese.
Dividindo, obtemos:

Passo 5

Agora, vamos focar no polinômio cúbico 1^3 - 11 times 1^2 + 35 times 1 - 25 = 1 - 11 + 35 - 25 = 0. Vamos tentar encontrar outra raiz racional. Testando novamente :
Então, é outra raiz. Isso significa que é novamente um fator.

Passo 6

Dividindo o polinômio cúbico por (x - 1)^2(x^2 - 10x + 25) = 0, temos:

Passo 7

Agora, a equação está fatorada da seguinte forma:
(x - 1)^2(x^2 - 10x + 25) = 0
As raízes são (com multiplicidade 2) e as raízes da equação quadrática .

Passo 8

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 times 1 times 252 times 1 = 10 pm raiz100 - 1002 = 10 pm 02 = 5
Então, é uma raiz com multiplicidade 2.

Resposta

As raízes da equação s��o:
  • (com multiplicidade 2)
  • (com multiplicidade 2)

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