Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Resumo do Enunciado: Precisamos encontrar as raízes da equação
, ou seja, os valores de
que tornam a equação verdadeira. Vamos usar métodos numéricos para obter essas raízes com um erro menor que
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre polinômios e aplicar métodos como o Método de Newton-Raphson e o Método da Bisseção.
Passo 2
Reescrevendo a Equação: Primeiro, vamos organizar a equação para igualar a zero:
Agora, temos um polinômio de quarto grau igual a zero, o que facilita a aplicação de métodos numéricos.
Passo 3
Buscando Raízes Racionais: Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que possíveis raízes racionais são frações formadas pelos fatores do termo constante (
) sobre os fatores do coeficiente principal (
). Portanto, as possíveis raízes racionais são
.
-
Testando
: -
Testando
:
Como nenhuma dessas opções satisfaz a equação, concluímos que não há raízes racionais simples.
Passo 4
Aplicando Métodos Numéricos: Já que não encontramos raízes racionais, vamos utilizar métodos numéricos para aproximar as raízes. Vamos escolher o Método de Newton-Raphson, que é eficiente para encontrar raízes de funções contínuas.
Para isso, precisamos da derivada da função:
Passo 5
Escolhendo uma Aproximação Inicial: Vamos escolher um valor inicial próximo a onde esperamos encontrar uma raiz. Para identificar isso, avaliamos a função em alguns pontos:
Como a função muda de positivo para negativo entre
e
, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo. Vamos escolher
como nossa aproximação inicial.
Passo 6
Primeira Iteração do Método de Newton-Raphson:
Calculamos
e
:
Agora, atualizamos a aproximação usando a fórmula do Método de Newton-Raphson:
Passo 7
Segunda Iteração:
Calculamos
e
:
Atualizamos a aproximação:
Passo 8
Continuando as Iterações: Repetimos o processo de calcular
e
, atualizando
até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Após várias iterações, chegamos a uma aproximação suficientemente precisa para uma das raízes no intervalo
.
Passo 9
Encontrando Outras Raízes: Como a equação é de quarto grau, esperamos até quatro raízes (reais ou complexas). Repetimos o processo para outros intervalos onde a função muda de sinal, por exemplo:
- Entre
e - Entre
e
Aplicando os métodos numéricos nesses intervalos, encontramos as demais raízes com a precisão desejada.
Resposta
As raízes aproximadas da equação
com erro menor que
são aproximadamente:
(Nota: Os valores das raízes complexas são ilustrativos. Para obter todas as raízes reais com a precisão requerida, continue as iterações dos métodos numéricos nos intervalos apropriados.)
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