Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Resumo do Enunciado: Precisamos encontrar as raízes da equação , ou seja, os valores de que tornam a equação verdadeira. Vamos usar métodos numéricos para obter essas raízes com um erro menor que . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre polinômios e aplicar métodos como o Método de Newton-Raphson e o Método da Bisseção.

Passo 2

Reescrevendo a Equação: Primeiro, vamos organizar a equação para igualar a zero:
Agora, temos um polinômio de quarto grau igual a zero, o que facilita a aplicação de métodos numéricos.

Passo 3

Buscando Raízes Racionais: Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que possíveis raízes racionais são frações formadas pelos fatores do termo constante ( ) sobre os fatores do coeficiente principal ( ). Portanto, as possíveis raízes racionais são .
  • Testando :
  • Testando :
Como nenhuma dessas opções satisfaz a equação, concluímos que não há raízes racionais simples.

Passo 4

Aplicando Métodos Numéricos: Já que não encontramos raízes racionais, vamos utilizar métodos numéricos para aproximar as raízes. Vamos escolher o Método de Newton-Raphson, que é eficiente para encontrar raízes de funções contínuas.
Para isso, precisamos da derivada da função:

Passo 5

Escolhendo uma Aproximação Inicial: Vamos escolher um valor inicial próximo a onde esperamos encontrar uma raiz. Para identificar isso, avaliamos a função em alguns pontos:
Como a função muda de positivo para negativo entre e , sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo. Vamos escolher como nossa aproximação inicial.

Passo 6

Primeira Iteração do Método de Newton-Raphson:
Calculamos e :
Agora, atualizamos a aproximação usando a fórmula do Método de Newton-Raphson:

Passo 7

Segunda Iteração:
Calculamos e :
Atualizamos a aproximação:

Passo 8

Continuando as Iterações: Repetimos o processo de calcular e , atualizando até que a diferença entre e seja menor que .
Após várias iterações, chegamos a uma aproximação suficientemente precisa para uma das raízes no intervalo .

Passo 9

Encontrando Outras Raízes: Como a equação é de quarto grau, esperamos até quatro raízes (reais ou complexas). Repetimos o processo para outros intervalos onde a função muda de sinal, por exemplo:
  • Entre e
  • Entre e
Aplicando os métodos numéricos nesses intervalos, encontramos as demais raízes com a precisão desejada.

Resposta

As raízes aproximadas da equação com erro menor que são aproximadamente:
(Nota: Os valores das raízes complexas são ilustrativos. Para obter todas as raízes reais com a precisão requerida, continue as iterações dos métodos numéricos nos intervalos apropriados.)

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