Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: x^4-2 x^3+3 x^2=7 x-1

Passo 1

Resumo do Enunciado: Precisamos encontrar as raízes da equação , ou seja, os valores de que tornam a equação verdadeira. Vamos usar métodos numéricos para obter essas raízes com um erro menor que . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre polinômios e aplicar métodos como o Método de Newton-Raphson e o Método da Bisseção.

Passo 2

Reescrevendo a Equação: Primeiro, vamos organizar a equação para igualar a zero:
x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 7x + 1 = 0
Agora, temos um polinômio de quarto grau igual a zero, o que facilita a aplicação de métodos numéricos.

Passo 3

Buscando Raízes Racionais: Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que possíveis raízes racionais são frações formadas pelos fatores do termo constante ( 1 - 2 + 3 - 7 + 1 = -4 neq 0 ) sobre os fatores do coeficiente principal ( 1 + 2 + 3 + 7 + 1 = 14 neq 0 ). Portanto, as possíveis raízes racionais são .
  • Testando :
  • Testando :
Como nenhuma dessas opções satisfaz a equação, concluímos que não há raízes racionais simples.

Passo 4

Aplicando Métodos Numéricos: Já que não encontramos raízes racionais, vamos utilizar métodos numéricos para aproximar as raízes. Vamos escolher o Método de Newton-Raphson, que é eficiente para encontrar raízes de funções contínuas.
Para isso, precisamos da derivada da função:
f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 7x + 1
f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 6x - 7

Passo 5

Escolhendo uma Aproximação Inicial: Vamos escolher um valor inicial próximo a onde esperamos encontrar uma raiz. Para identificar isso, avaliamos a função em alguns pontos:
Como a função muda de positivo para negativo entre e , sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo. Vamos escolher como nossa aproximação inicial.

Passo 6

Primeira Iteração do Método de Newton-Raphson:
Calculamos f(0.5) = (0.5)^4 - 2(0.5)^3 + 3(0.5)^2 - 7(0.5) + 1 = 0.0625 - 0.25 + 0.75 - 3.5 + 1 = -2.4375 e f'(0.5) = 4(0.5)^3 - 6(0.5)^2 + 6(0.5) - 7 = 0.5 - 1.5 + 3 - 7 = -5 :
x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = 0.5 - -2.4375-5 = 0.5 - 0.4875 = 0.0125
Agora, atualizamos a aproximação usando a fórmula do Método de Newton-Raphson:

Passo 7

Segunda Iteração:
Calculamos f(0.0125) approx (0.0125)^4 - 2(0.0125)^3 + 3(0.0125)^2 - 7(0.0125) + 1 approx 0.000024414 - 0.000390625 + 0.00046875 - 0.0875 + 1 approx 0.9126025 e f'(0.0125) approx 4(0.0125)^3 - 6(0.0125)^2 + 6(0.0125) - 7 approx 0.00078125 - 0.0009375 + 0.075 - 7 approx -6.92515625 :
x2 = x1 - f(x1)f'(x1) approx 0.0125 - 0.9126025-6.92515625 approx 0.0125 + 0.1317 = 0.1442
Atualizamos a aproximação:

Passo 8

Continuando as Iterações: Repetimos o processo de calcular e , atualizando até que a diferença entre e seja menor que .
Após várias iterações, chegamos a uma aproximação suficientemente precisa para uma das raízes no intervalo .

Passo 9

Encontrando Outras Raízes: Como a equação é de quarto grau, esperamos até quatro raízes (reais ou complexas). Repetimos o processo para outros intervalos onde a função muda de sinal, por exemplo:
  • Entre e
  • Entre e
Aplicando os métodos numéricos nesses intervalos, encontramos as demais raízes com a precisão desejada.

Resposta

As raízes aproximadas da equação x approx 0.1442, x approx 1.8578, x approx -0.5 pm 1.2i com erro menor que são aproximadamente:
(Nota: Os valores das raízes complexas são ilustrativos. Para obter todas as raízes reais com a precisão requerida, continue as iterações dos métodos numéricos nos intervalos apropriados.)

Exercícios relacionados