Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A gente precisa encontrar as raízes da equação , ou seja, os valores de que satisfazem essa igualdade. Vamos usar métodos de resolução de equações polinomiais e técnicas numéricas para garantir que o erro seja menor que . Para isso, vamos precisar entender como manipular polinômios, identificar possíveis raízes e aplicar métodos como o Método de Newton-Raphson.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para trazer todos os termos para um lado, deixando a equação igualada a zero. Isso vai facilitar a identificação das raízes.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação em ordem descendente dos expoentes de :

Passo 4

Para encontrar as raízes dessa equação polinomial de quinto grau, podemos começar tentando fatores racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema nos diz que quaisquer raízes racionais da equação são da forma , onde é um divisor do termo constante e é um divisor do coeficiente líder.
Aqui, o termo constante é 9 e o coeficiente líder é 1. Então, os possíveis valores de são .

Passo 5

Vamos testar na equação:
Não é raiz. Agora, teste :
Também não é raiz. Vamos tentar :
E :
Viu só? satisfaz a equação!

Passo 6

Agora que encontramos uma raiz , podemos realizar a divisão polinomial para fatorar o polinômio original. Dividimos por .
Após a divisão, obtemos:

Passo 7

Agora, precisamos resolver a equação . Vamos tentar novamente aplicar o Teorema das Raízes Racionais para este polinômio.
Os possíveis valores de são .
Testando :
Testando :
Testando :
Parece que não temos raízes racionais aqui. Então, vamos precisar de métodos numéricos para encontrar as raízes restantes com a precisão desejada.

Passo 8

Vamos usar o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para encontrar aproximações cada vez melhores das raízes de uma função. A fórmula é:
Primeiro, precisamos da derivada do polinômio:

Passo 9

Escolhemos um ponto inicial próximo da raiz que queremos encontrar. Vamos analisar o gráfico do polinômio para ter uma ideia de onde estão as raízes.
Após a inspeção, percebemos que há uma raiz próxima de . Então, vamos escolher .
Aplicando o Método de Newton-Raphson:
Calculando e :
Então:
Percebi que o valor está se afastando da raiz. Talvez precisemos escolher um melhor. Vamos tentar .

Passo 10

Calculando com :
Então:
Ainda não está convergindo. Vamos escolher .

Passo 11

Calculando com :
Então:
Não está progredindo. Vamos tentar .

Passo 12

Calculando com :
Então:
Ainda não estamos convergindo. Parece que o Método de Newton-Raphson não está funcionando bem aqui devido à complexidade do polinômio. Vamos optar por outro método numérico, como o Método da Bissecção.

Passo 13

O Método da Bissecção é uma técnica que reduz o intervalo onde a raiz está localizada pela metade em cada iteração. Precisamos de dois pontos e onde e tenham sinais opostos, indicando que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos considerar o intervalo .
Calculando e . Ambos negativos, então não há mudança de sinal aqui. Vamos tentar .
[ f(2) = -17 ) e . Agora temos sinais opostos, então a raiz está nesse intervalo.

Passo 14

Aplicando a primeira iteração do Método da Bissecção:
Calculamos o ponto médio:
Calculamos :
Como e têm sinais opostos, a raiz está no intervalo .

Passo 15

Continuamos com a segunda iteração:
Novamente, e têm sinais opostos. A raiz está no intervalo .

Passo 16

Terceira iteração:
Os sinais continuam opostos, então a raiz está em .

Passo 17

Quarta iteração:
Ainda negativos, então a raiz está em .

Passo 18

Quinta iteração:
A raiz ainda está em .

Passo 19

Continuando esse processo de bissecção até que o intervalo seja suficientemente pequeno para garantir um erro menor que , obtemos a raiz aproximada.
Após várias iterações, chegamos a:

Resposta

As raízes da equação , com erro menor que , são:

Exercícios relacionados

Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:
Localizar graficamente as raízes reais das equações.
Equação: