Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A gente precisa encontrar as raízes da equação
, ou seja, os valores de
que satisfazem essa igualdade. Vamos usar métodos de resolução de equações polinomiais e técnicas numéricas para garantir que o erro seja menor que
. Para isso, vamos precisar entender como manipular polinômios, identificar possíveis raízes e aplicar métodos como o Método de Newton-Raphson.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para trazer todos os termos para um lado, deixando a equação igualada a zero. Isso vai facilitar a identificação das raízes.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação em ordem descendente dos expoentes de
:
Passo 4
Para encontrar as raízes dessa equação polinomial de quinto grau, podemos começar tentando fatores racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema nos diz que quaisquer raízes racionais da equação são da forma
, onde
é um divisor do termo constante e
é um divisor do coeficiente líder.
Aqui, o termo constante é 9 e o coeficiente líder é 1. Então, os possíveis valores de
são
.
Passo 5
Vamos testar
na equação:
Não é raiz. Agora, teste
:
Também não é raiz. Vamos tentar
:
E
:
Viu só?
satisfaz a equação!
Passo 6
Agora que encontramos uma raiz
, podemos realizar a divisão polinomial para fatorar o polinômio original. Dividimos
por
.
Após a divisão, obtemos:
Passo 7
Agora, precisamos resolver a equação
. Vamos tentar novamente aplicar o Teorema das Raízes Racionais para este polinômio.
Os possíveis valores de
são
.
Testando
:
Testando
:
Testando
:
Parece que não temos raízes racionais aqui. Então, vamos precisar de métodos numéricos para encontrar as raízes restantes com a precisão desejada.
Passo 8
Vamos usar o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para encontrar aproximações cada vez melhores das raízes de uma função. A fórmula é:
Primeiro, precisamos da derivada do polinômio:
Passo 9
Escolhemos um ponto inicial
próximo da raiz que queremos encontrar. Vamos analisar o gráfico do polinômio para ter uma ideia de onde estão as raízes.
Após a inspeção, percebemos que há uma raiz próxima de
. Então, vamos escolher
.
Aplicando o Método de Newton-Raphson:
Calculando
e
:
Então:
Percebi que o valor está se afastando da raiz. Talvez precisemos escolher um
melhor. Vamos tentar
.
Passo 10
Calculando com
:
Então:
Ainda não está convergindo. Vamos escolher
.
Passo 11
Calculando com
:
Então:
Não está progredindo. Vamos tentar
.
Passo 12
Calculando com
:
Então:
Ainda não estamos convergindo. Parece que o Método de Newton-Raphson não está funcionando bem aqui devido à complexidade do polinômio. Vamos optar por outro método numérico, como o Método da Bissecção.
Passo 13
O Método da Bissecção é uma técnica que reduz o intervalo onde a raiz está localizada pela metade em cada iteração. Precisamos de dois pontos
e
onde
e
tenham sinais opostos, indicando que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos considerar o intervalo
.
Calculando
e
. Ambos negativos, então não há mudança de sinal aqui. Vamos tentar
.
[ f(2) = -17 ) e
. Agora temos sinais opostos, então a raiz está nesse intervalo.
Passo 14
Aplicando a primeira iteração do Método da Bissecção:
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
:
Como
e
têm sinais opostos, a raiz está no intervalo
.
Passo 15
Continuamos com a segunda iteração:
Novamente,
e
têm sinais opostos. A raiz está no intervalo
.
Passo 16
Terceira iteração:
Os sinais continuam opostos, então a raiz está em
.
Passo 17
Quarta iteração:
Ainda negativos, então a raiz está em
.
Passo 18
Quinta iteração:
A raiz ainda está em
.
Passo 19
Continuando esse processo de bissecção até que o intervalo seja suficientemente pequeno para garantir um erro menor que
, obtemos a raiz aproximada.
Após várias iterações, chegamos a:
Resposta
As raízes da equação
, com erro menor que
, são:
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Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
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, através de diversos métodos.
Equação:
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Equação:
Equação:
Localizar graficamente as raízes reais das equações.
Equação:
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