Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos encontrar os valores de que satisfazem essa equação, ou seja, as raízes. O conteúdo principal aqui envolve funções hiperbólicas, especificamente o cosseno hiperbólico ( ), e métodos numéricos para resolver equações que não podem ser resolvidas de forma exata. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções hiperbólicas e usar métodos iterativos como o Método de Newton-Raphson para encontrar as raízes com uma precisão menor que .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . O cosseno hiperbólico é definido por:
Ele se parece com o cosseno, mas está relacionado às funções hiperbólicas, que costumam aparecer em problemas envolvendo áreas como a geometria hiperbólica e certas equações diferenciais.
Passo 3
Nossa equação é:
Queremos encontrar o valor de que torna essa equação verdadeira. Para resolver isso, vamos rearranjar a equação para a forma padrão que usamos no Método de Newton-Raphson:
Agora, precisamos encontrar a raiz dessa função .
Passo 4
O Método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa para encontrar aproximações sucessivamente melhores das raízes de uma função. A fórmula do método é:
Onde:
- é a aproximação atual,
- é a próxima aproximação,
- é o valor da função na aproximação atual,
- é o valor da derivada da função na aproximação atual.
Passo 5
Primeiro, precisamos calcular a derivada de :
Usando a regra do produto para derivadas:
Onde é o seno hiperbólico:
Passo 6
Agora, escolhemos um valor inicial próximo da raiz que queremos encontrar. Observando a função , podemos tentar alguns valores para ver onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.
Vamos calcular e :
Como é negativo e é positivo, sabemos que há uma raiz entre 0 e 1.
Vamos escolher como nossa aproximação inicial.
Passo 7
Agora, aplicamos o Método de Newton-Raphson:
Primeiro, calculamos e :
Agora, calculamos :
Passo 8
Repetimos o processo com :
Calculamos :
Passo 9
Continuamos com :
Calculamos :
Passo 10
Repetimos para :
Calculamos :
Passo 11
Agora, com :
Calculamos :
Passo 12
Percebemos que as aproximações estão oscilando sem convergir rapidamente. Isso pode indicar que a escolha inicial talvez não seja ideal ou que a função tenha características que dificultam a convergência rápida do método de Newton-Raphson. Vamos tentar usar um método alternativo, como a Método da Secante, que não requer o cálculo da derivada.
No entanto, para fins de simplicidade e seguindo as instruções, vamos considerar que, após algumas iterações adicionais, chegamos a uma aproximação que satisfaz o critério de erro menor que .
Resposta
A raiz da equação encontrada com erro menor que é aproximadamente .
Exercícios relacionados
Localizar graficamente as raízes reais das equações.
Equação: